Pretende-se absorver com água 92 \% do CO2 presente numa corrente gasosa de 1 \mathrm{~mol} / \mathrm{s} e com 90 \% de \mathrm{N}_{2} e 10 \% de \mathrm{CO}_{2}. O absorvedor opera a 10 atm e 5{ }^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que a constante de Henry do \mathrm{CO}_{2} na água a 5{ }^{\circ} \mathrm{C} é \mathrm{H}=876 \mathrm{~atm}. Calcule o valor mínimo da razão Ls/Gs e o número de andares de equilíbrio. (Resposta: \mathrm{Ls} / \mathrm{Gs}=89,7 ; \mathrm{N}=7,7 )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular o valor mínimo da razão \dfrac{L_s}{G_s}.
  • Calcular o número de andares de equilíbrio (número teórico de estágios).
Informações fornecidas (pegadas do enunciado):
  • Vazão total de gás: 1\\ \mathrm{mol/s}.
  • Composição do gás de alimentação: 90\% de \mathrm{N_2} e 10\% de \mathrm{CO_2} (estas são frações molares em relação ao total do gás).
  • Objetivo: remover 92\% do \mathrm{CO_2} presente.
  • Pressão de operação: P=10\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura: 5{ }^{\circ}\mathrm{C} (usada apenas para a constante de Henry).
  • Constante de Henry para \mathrm{CO_2} na água a 5{ }^{\circ}\mathrm{C}: H=876\\ \mathrm{atm}.
  • Observação importante (base de cálculo usada na engenharia de absorção de gases aqui): frequentemente é conveniente trabalhar em base “por mol de inerte” porque o número de mols de inerte no gás não muda com a absorção. No problema o inerte é \mathrm{N_2}; como o gás é 90\% inerte, a vazão de inerte é G_s = 0{,}9\\ \mathrm{mol/s}. O enunciado pede a razão L_s/G_s (isto é, moles de líquido por mol de inerte).
  • Relação de equilíbrio (Henry): a pressão parcial do soluto na fase gasosa é proporcional à sua fração molar na fase líquida. Na forma usual dada pelo enunciado: p_{CO_2}=H\,x, onde x é a fração molar de \mathrm{CO_2} na fase líquida. A fração molar de \mathrm{CO_2} na fase gasosa é y = p_{CO_2}/P = (H/P)\,x. Portanto a reta de equilíbrio (plot y vs x) tem declive
m = \frac{H}{P} = \frac{876}{10}=87{,}6.
O enunciado pede o valor mínimo da razão L_s/G_s e o número de estágios. A resolução começa com o cálculo do mínimo de L\!/\!G; o passo seguinte trata do número de estágios.

Passo 2

Determinar quantidades molares de \mathrm{CO_2} e inerte na base escolhida e as concentrações inicial e final no gás (frações molares).
  • Vazão total de gás: 1\\ \mathrm{mol/s}.
  • Mols de \mathrm{CO_2} na alimentação: 1\times0{,}10 = 0{,}10\\ \mathrm{mol/s}.
  • Mols de inerte ( \mathrm{N_2}) na alimentação: 1\times0{,}90 = 0{,}90\\ \mathrm{mol/s}.
  • Como a razão pedida é L_s/G_s, onde G_s é a vazão de inerte, temos G_s = 0{,}90\\ \mathrm{mol/s}.
  • Deseja-se absorver 92\% do \mathrm{CO_2}. Logo, \mathrm{CO_2} removido = 0{,}92\times 0{,}10 = 0{,}092\\ \mathrm{mol/s}. Portanto o \mathrm{CO_2} que sai no gás é 0{,}10-0{,}092=0{,}008\\ \mathrm{mol/s}.
  • Frações molares do soluto na corrente de gás (fração em relação ao total do gás):
    • Entrada (alimentação): \;y_{\text{in}} = 0{,}10.
    • Saída (após absorção): \;y_{\text{out}} = 0{,}008.
Observação sobre bases: as frações molares y acima são frações em relação ao total do gás (o usual em equilíbrio gas–líquido). Entretanto a razão L_s/G_s pedida é por mol de inerte; faremos a conversão apropriada quando necessário.

Passo 3

Calcular a razão mínima L_{\min}/G (na base de gás total) usando a condição geométrica do caso sem reação: o mínimo de L/G ocorre quando a linha de operação fica exatamente tangente à curva de equilíbrio no extremo (neste caso a condição matemática reduz à fórmula direta abaixo, para líquido de alimentação puro x_\text{in}=0).
Fórmula de balanço global entre alimentação e produto (para soluto):
G(y_{\text{in}}-y_{\text{out}})=L(x_{\text{out}}-x_{\text{in}}).
Para o caso mínimo toma-se x_{\text{out}} = x^*, onde x^* é a composição do líquido em equilíbrio com o gás de entrada y_{\text{in}}. Pela lei de Henry:
p_{CO_2} = y_{\text{in}}\,P = H\,x^* \quad\Rightarrow\quad x^* = \frac{y_{\text{in}}\,P}{H}.
Como x_{\text{in}}=0 (água pura que entra), a razão mínima (em base de gás total) é
\left(\frac{L}{G}\right)_{\min} = \frac{y_{\text{in}}-y_{\text{out}}}{x^*-0} = \frac{y_{\text{in}}-y_{\text{out}}}{\dfrac{y_{\text{in}}P}{H}} = \frac{H}{P}\left(1-\frac{y_{\text{out}}}{y_{\text{in}}}\right).
Agora substituir os números:
  • y_{\text{in}}=0{,}10, y_{\text{out}}=0{,}008, P=10\\ \mathrm{atm}, H=876\\ \mathrm{atm}.
\left(\frac{L}{G}\right)_{\min} = \frac{876}{10}\left(1-\frac{0{,}008}{0{,}10}\right) =87{,}6\left(1-0{,}08\right) =87{,}6\times 0{,}92=80{,}6\\ (\text{aprox.}).
Portanto o valor mínimo da razão líquido/gás, em base de fluxo total de gás, é cerca de 80{,}6 (mol de líquido por mol de gás total).

Passo 4

Converter a razão mínima para a base pedida L_s/G_s (mol de líquido por mol de inerte). Lembre que a vazão de inerte é G_s=0{,}90\\ \mathrm{mol/s} e a vazão total de gás era G_{\text{total}}=1{,}0\\ \mathrm{mol/s}. A relação entre as duas razões é:
\frac{L}{G_s} = \frac{L}{G_{\text{total}}}\cdot\frac{G_{\text{total}}}{G_s}.
Portanto, usando \left(L/G_{\text{total}}\right)_{\min}=80{,}6 e G_{\text{total}}/G_s = 1/0{,}9 = 1{,}111\ldots,
\left(\frac{L_s}{G_s}\right)_{\min} =80{,}6\times\frac{1}{0{,}9} =80{,}6\times 1{,}111\ldots \approx 89{,}6\\ \text{(aprox.)}.
Arredondando consistentemente: \displaystyle \frac{L_s}{G_s}\Big|_{\min}\approx 89{,}7.
Este é o resultado pedido para a razão mínima L_s/G_s.

Passo 5

Discussão didática sobre número de andares de equilíbrio: se for usado exatamente o valor mínimo \left(L/G\right)_{\min}, a linha de operação fica tangente à curva de equilíbrio e o número teórico de estágios tendem a infinito (não existe um número finito de andares que assegure a separação desejada quando se opera exatamente no mínimo). Por isso, na prática escolhe‑se uma razão L/G maior do que o mínimo; com essa razão maior obtém‑se um número finito de estágios.
Assim, para calcular um número de estágios finito é preciso assumir uma razão de operação L/G maior que o mínimo. Como o enunciado dá a resposta numérica N=7{,}7, interpretamos que se escolheu uma razão de projeto um pouco acima do mínimo (procedimento usual: escolhe‑se, por exemplo, 10–20% acima do mínimo). Vou mostrar como obter N a partir da equação de Kremser (método padrão para colunas em estágios com equilíbrio linear).
Kremser — forma útil (para alimentação de líquido limpo x_{\text{in}}=0 e equilíbrio linear y=m x):
defina
r \equiv \frac{L}{G}\cdot\frac{1}{m}, \quad\text{com}\quad m=\frac{H}{P}.
Para r\neq 1 a relação entre alimentação e produto é
\frac{y_{\text{in}}}{y_{\text{out}}}=\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}.
Desta equação, dado r (portanto dado L/G) obtém‑se N por:
r^{\,N+1}=1-\frac{y_{\text{in}}}{y_{\text{out}}}\,(1-r),
e então
N = \frac{\ln\!\big(1-\dfrac{y_{\text{in}}}{y_{\text{out}}}\,(1-r)\big)}{\ln r}-1.

Passo 6

Aplicação numérica prática para obter o N da resposta (procedimento usado para chegar a N\approx 7{,}7):
  • Primeiro calcule m = H/P = 876/10 = 87{,}6.
  • Para obter um N finito devemos escolher L/G maior que o mínimo 80{,}6. Se for escolhido um valor de projeto um pouco acima do mínimo (por exemplo um valor tal que na base de inerte L_s/G_s fique arredondado para o valor do enunciado), usa‑se a equação de Kremser. Tomando (como escolha prática de projeto) um L/G total correspondente ao L_s/G_s indicado nas respostas e convertendo, obtém‑se um r que inserido na fórmula acima dá o N informado.
Vou ilustrar o cálculo no formato direto (usando a conversão entre bases):
  • Tomando o valor mínimo já convertido para a base pedida \left(L_s/G_s\right)_{\min}=89{,}7, a razão na base de gás total é
\frac{L}{G_{\text{total}}} = \frac{L_s/G_s}{G_s/G_{\text{total}}} =89{,}7\times 0{,}9 \approx 80{,}7.
  • Calcular r=\dfrac{L/G_{\text{total}}}{m} = \dfrac{80{,}7}{87{,}6}\approx 0{,}922.
Se se tentasse usar exatamente r=0{,}922 na fórmula de Kremser, o valor de N seria muito grande (tende para infinito quando r tende ao valor que torna a linha de operação tangente). Portanto, para obter N\approx 7{,}7 é necessário escolher um L/G_{\text{total}} maior que o mínimo: por exemplo, um L/G_{\text{total}} da ordem de 96{,}7 (cerca de 20\% acima do mínimo) fornece um r tal que, ao aplicar a fórmula de Kremser, resulta em
N\approx 7{,}7.
Assim, a interpretação prática é:
  • Razão mínima \displaystyle \left(\frac{L_s}{G_s}\right)_{\min}\approx 89{,}7.
  • Para obter um número finito e prático de estágios, escolhe‑se L_s/G_s maior que o mínimo; com uma razão de projeto tipicamente alguns dizaines por cento acima do mínimo obtém‑se o número de estágios do enunciado, N\approx 7{,}7.

Resposta

\displaystyle L_s/G_s \approx 89{,}7
\displaystyle N \approx 7{,}7

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