1. Encontre a distância entre as esferas x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=4 x+4 y+4 z-11.

Passo 1

O enunciado pede a distância mínima entre as superfícies de duas esferas dadas por
x^2+y^2+z^2=4
e
x^2+y^2+z^2=4x+4y+4z-11
O conteúdo usado será: (1) identificar centros e raios das esferas e (2) calcular a distância entre as superfícies como a distância entre centros menos a soma dos raios.

Passo 2

Para a primeira esfera temos a equação
x^2+y^2+z^2=4,
que é a forma padrão com centro ,O=(0,0,0) e raio
r1=2

Passo 3

Na segunda esfera, escrevemos
x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z=-11
e completamos o quadrado em cada variável:
(x-2)^2-4+(y-2)^2-4+(z-2)^2-4=-11
Rightarrow (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=1
Logo, o centro é C=(2,2,2) e o raio é
r2=1

Passo 4

A distância entre os centros O e C vale
dOC=raiz(2-0)^2+(2-0)^2+(2-0)^2=raiz12=2raiz3

Passo 5

A distância entre as superfícies é
d = dOC - (r1+r2) = 2raiz3 - (2+1) = 2raiz3 - 3

Resposta

2raiz3 - 3

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