Encontre a distância do ponto (2,1,3) à reta r:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\\ y=1+6 t \\\ z=3\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad\right..

Passo 1

Resumindo: temos o ponto P=(2,1,3)\) e a reta \[r:\begin{cases} x=2+2t,\\\ y=1+6t,\\\ z=3, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Queremos a distância de P\] a \(r. Para isso, usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3:
d=\frac{\big\lVert \overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\big\rVert}{\lVert \mathbf{v}\rVert},
onde A é um ponto qualquer na reta e \mathbf{v} é o vetor diretor de r.

Passo 2

Escolhemos A como o ponto obtido em t=0. Assim,
A=(2,1,3),
e o vetor diretor de r é
\mathbf{v}=(2,6,0).

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{AP} = P - A:
\overrightarrow{AP}=(2,1,3)-(2,1,3)=(0,0,0).

Passo 4

Como \overrightarrow{AP}=\mathbf{0}, o produto vetorial com \mathbf{v} também é o vetor zero, de norma zero:
\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} = \mathbf{0},\quad \big\lVert\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\big\rVert = 0.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
d = \frac{0}{\lVert \mathbf{v}\rVert} = 0.

Resposta

A distância do ponto (2,1,3) à reta r é 0.

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