Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta.
( ) Existe um plano que contém os pontos A=(1,0,-1), B=(0,2,3), C=(-2,1,1) e D=(4,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe um plano que contenha os quatro pontos
A=(1,0,-1),\quad B=(0,2,3),\quad C=(-2,1,1),\quad D=(4,2,3).
Esse é um problema de geometria vetorial em \mathbb{R}^3: quatro pontos são coplanares se, e somente se, o volume do tetraedro que formam for zero, ou equivalentemente, se o produto misto de três vetores entre eles for nulo.

Passo 2

Formamos os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} a partir de A:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1,2,4),\quad \overrightarrow{AC}=C-A = (-3,1,2),\quad \overrightarrow{AD}=D-A = (3,2,4).

Passo 3

Calculamos o produto misto, que é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix} -1 & -3 & 3\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix} = -1\bigl(1\cdot4-2\cdot2\bigr) -2\bigl(-3\cdot4-2\cdot3\bigr) +4\bigl(-3\cdot2-1\cdot3\bigr) =0+36-36=0.

Passo 4

Como o produto misto é zero, o volume do tetraedro ABCD é nulo, o que significa que A,B,C,D são coplanares. Logo, existe um plano que passa por esses quatro pontos.

Resposta

(V)

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