Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as distâncias máxima e mínima da origem até a curva definida pela equação
. Isso envolve um pouco de geometria analítica, especificamente sobre curvas quadráticas e otimização de distância. Para resolver isso, vamos precisar calcular a distância de um ponto qualquer
na curva até a origem e encontrar os valores máximo e mínimo dessa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância
entre a origem
e um ponto
é dada pela fórmula:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com
.
Passo 3
Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de
sujeitos à restrição dada pela curva
. Isso é um problema de otimização com restrição, onde usamos multiplicadores de Lagrange. A função que vamos otimizar é:
E a restrição é:
Passo 4
Usamos os multiplicadores de Lagrange estabelecendo que o gradiente de
é igual ao múltiplo de
:
Calculando os gradientes:
Portanto, temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos manipular as duas primeiras equações para encontrar a relação entre
e
. Dividindo a primeira equação pela segunda, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, consideramos os dois casos:
e
.
Caso 1:
Substituindo na restrição:
Substituindo na restrição:
Então,
.
Calculando
:
Caso 2:
Substituindo na restrição:
Substituindo na restrição:
Então,
.
Calculando
:
Resposta
A distância mínima da origem até a curva é
e a distância máxima é
.