Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à curva 5 x^2 + 6 x y + 5 y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as distâncias máxima e mínima da origem até a curva definida pela equação . Isso envolve um pouco de geometria analítica, especificamente sobre curvas quadráticas e otimização de distância. Para resolver isso, vamos precisar calcular a distância de um ponto qualquer na curva até a origem e encontrar os valores máximo e mínimo dessa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre a origem e um ponto é dada pela fórmula:
Mas para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com .

Passo 3

Queremos encontrar os valores máximo e mínimo de sujeitos à restrição dada pela curva . Isso é um problema de otimização com restrição, onde usamos multiplicadores de Lagrange. A função que vamos otimizar é:
E a restrição é:

Passo 4

Usamos os multiplicadores de Lagrange estabelecendo que o gradiente de é igual ao múltiplo de :
Calculando os gradientes:
Portanto, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos manipular as duas primeiras equações para encontrar a relação entre e . Dividindo a primeira equação pela segunda, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, consideramos os dois casos: e .
Caso 1:
Substituindo na restrição:
Então, .
Calculando :
Caso 2:
Substituindo na restrição:
Então, .
Calculando :

Resposta

A distância mínima da origem até a curva é e a distância máxima é .

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