Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = (x^2 + 1)^27 * (x^4 + 3 x + 1)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que diferenciar a função . Isso envolve a Regra da Cadeia e a Regra do Produto. A Regra da Cadeia ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Já a Regra do Produto é usada quando a gente tem duas funções multiplicadas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para derivar , vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é:

Passo 3

Agora precisamos encontrar e . Vamos começar com .
Para derivar , usamos a Regra da Cadeia. Se temos , a derivada é .
Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora vamos derivar usando a Regra da Cadeia novamente.
Aqui, e . Então:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:

Resposta

A derivada de é:

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