Encontre os dois valous de a , tais que:
integral0^1 integral0^4-a-x^2 integral0^4-x^2-y d z d y d x=415

Passo 1

Então, temos um problema de cálculo envolvendo integrais múltiplas. Precisamos encontrar os valores de que tornam a integral tripla igual a . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais múltiplas em coordenadas cartesianas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
  • Para cada , varia de 0 a .
A integral tripla representa o volume da região definida por esses limites.

Passo 3

Vamos calcular a integral tripla passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integral0^4 - x^2 - y dz = (4 - x^2 - y) - 0 = 4 - x^2 - y :
integral0^1 integral0^4 - a - x^2 (4 - x^2 - y) , dy , dx
Agora, a integral fica:

Passo 4

Integramos em relação a integral0^4 - a - x^2 (4 - x^2 - y) , dy = (4 - x^2)y - y^22 |0^4 - a - x^2 :
= (4 - x^2)(4 - a - x^2) - (4 - a - x^2)^22
= (4 - x^2)(4 - a - x^2) - (4 - a - x^2)^22
= (4 - x^2)^2 - (4 - a - x^2)^22

Passo 5

Expandimos os quadrados:
(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4
(4 - a - x^2)^2 = (4 - a)^2 - 8(4 - a)x^2 + x^4
Subtraindo:
(16 - 8x^2 + x^4) - ((4 - a)^2 - 8(4 - a)x^2 + x^4)2 = 16 - 8x^2 - (16 - 8a + a^2) + 8(4 - a)x^22
= -8x^2 + 8(4 - a)x^2 - a^2 + 8a2
= (32 - 8a)x^2 - a^2 + 8a2
= (16 - 4a)x^2 - a^22 + 4a
Agora, integramos em relação a integral0^1 [(16 - 4a)x^2 - a^22 + 4a] dx = (16 - 4a)x^33 - a^22x + 4a x |0^1 de 0 a 1:
= (16 - 4a)13 - a^22 + 4a
= 16 - 4a3 - a^22 + 4a
= 16 - 4a + 12a3 - a^22
= 16 + 8a3 - a^22

Passo 6

Igualamos a integral a 16 + 8a3 - a^22 = 415 :
10(16 + 8a) - 15a^2 = 8
Multiplicamos todos os termos por 30 para eliminar os denominadores:
160 + 80a - 15a^2 = 8
-15a^2 + 80a + 160 - 8 = 0
-15a^2 + 80a + 152 = 0
15a^2 - 80a - 152 = 0
Multiplicamos por -1:

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = 80 pm raiz80^2 - 4 cdot 15 cdot (-152)2 cdot 15
a = 80 pm raiz6400 + 912030
a = 80 pm raiz1552030
a = 80 pm 124.5830
Calculando as duas possibilidades:
a1 = 80 + 124.5830 approx 204.5830 approx 6.82
a2 = 80 - 124.5830 approx -44.5830 approx -1.49

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são aproximadamente e .

Exercícios relacionados