Resolva a seguinte equação diferencial:
(D-4)³(D³-D²+D-1)y=5x²e^(4x)+8sen(x)
Qual é a equação característica da equação homogênea associada?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma equação diferencial com operadores em D, onde D representa a derivada em relação a x. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e, mais especificamente, vamos achar a equação característica da parte homogênea dessa equação. Para isso, precisamos entender como transformar os operadores em D em uma equação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação diferencial, que é quando igualamos a equação a zero:

Aqui, temos dois fatores multiplicando y. Para encontrar a equação característica, substituímos cada D por r, que representa as raízes da equação característica.

Passo 3

Vamos substituir D por r em cada parte:

Isso nos dá a equação característica associada à parte homogênea da equação diferencial.

Resposta

A equação característica da equação homogênea associada é:

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