Encontre o domínio das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
definida por
Informações dadas que são relevantes:
- A função é composta por duas raízes quadradas:
e . - Para que
seja um número real, o radicando precisa ser maior ou igual a zero. - Logo, devemos achar os valores de
que satisfazem simultaneamente as condições impostas pelos dois radicandos: -
, -
.
-
Passo 2
Resolver a primeira condição
.
Começo isolando
. Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando por
e invertendo o sinal da desigualdade:
Portanto a primeira condição dá o conjunto
Passo 3
Resolver a segunda condição
.
Escrevo como produto, fatorando:
Queremos
. Os zeros do polinômio são
e
. Como a parábola
abre para cima, o produto é não negativo fora do intervalo entre as raízes. Fazendo um esquema de sinais ou raciocínio clássico:
- Para
temos e , produto . - Para
os fatores têm sinais opostos, produto . - Para
ambos os fatores são , produto .
Incluindo os pontos onde é zero, obtemos
Passo 4
Intersectar as duas condições (ambas devem valer ao mesmo tempo).
Temos:
Intersecando com
:
- Para a parte
: qualquer já satisfaz , então essa parte inteira entra no domínio: . - Para a parte
: é necessário também , então ficam os tais que , isto é .
Unindo as duas partes obtém-se o domínio:
Passo 5
Verificação com exemplos rápidos para ganhar confiança:
-
está em . Então e — expressão bem definida. -
está fora do domínio porque , então não é real. -
está fora porque , então não é real.
Tudo coerente com o conjunto obtido.