Encontre o domínio das funções a seguir:
g(t)=\sqrt{4-t}-\sqrt{t^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função g definida por
g(t)=\sqrt{4-t}-\sqrt{t^{2}-1}.
Informações dadas que são relevantes:
  • A função é composta por duas raízes quadradas: \sqrt{4-t} e \sqrt{t^{2}-1}.
  • Para que \sqrt{\cdot} seja um número real, o radicando precisa ser maior ou igual a zero.
  • Logo, devemos achar os valores de t\in\mathbb{R} que satisfazem simultaneamente as condições impostas pelos dois radicandos:
    • 4-t\ge 0,
    • t^{2}-1\ge 0.

Passo 2

Resolver a primeira condição 4-t\ge 0.
Começo isolando t. Subtraindo 4 dos dois lados:
4-t\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -t\ge -4.
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade:
-t\ge -4 \quad\Longleftrightarrow\quad t\le 4.
Portanto a primeira condição dá o conjunto
\{t\in\mathbb{R}\mid t\le 4\} = (-\infty,4].

Passo 3

Resolver a segunda condição t^{2}-1\ge 0.
Escrevo como produto, fatorando:
t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Queremos (t-1)(t+1)\ge 0. Os zeros do polinômio são t=-1 e t=1. Como a parábola t^{2}-1 abre para cima, o produto é não negativo fora do intervalo entre as raízes. Fazendo um esquema de sinais ou raciocínio clássico:
  • Para t<-1 temos (t-1)<0 e (t+1)<0, produto >0.
  • Para -1<t<1 os fatores têm sinais opostos, produto <0.
  • Para t>1 ambos os fatores são >0, produto >0.
    Incluindo os pontos onde é zero, obtemos
\{t\in\mathbb{R}\mid t^{2}-1\ge 0\}=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Passo 4

Intersectar as duas condições (ambas devem valer ao mesmo tempo).
Temos:
t\le 4 \quad\text{e}\quad \bigl(t\le -1 \text{ ou } t\ge 1\bigr).
Intersecando com t\le 4:
  • Para a parte t\le -1: qualquer t\le -1 já satisfaz t\le 4, então essa parte inteira entra no domínio: (-\infty,-1].
  • Para a parte t\ge 1: é necessário também t\le 4, então ficam os t tais que 1\le t\le 4, isto é [1,4].
Unindo as duas partes obtém-se o domínio:
(-\infty,-1]\\ \cup\\ [1,4].

Passo 5

Verificação com exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • t=2 está em [1,4]. Então \sqrt{4-2}=\sqrt{2} e \sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3} — expressão bem definida.
  • t=0 está fora do domínio porque t^{2}-1=-1<0, então \sqrt{t^{2}-1} não é real.
  • t=5 está fora porque 4-5=-1<0, então \sqrt{4-t} não é real.
    Tudo coerente com o conjunto obtido.

Resposta

(-\infty,-1]\cup[1,4]

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