Se
e-2005
, o número de raízes reais da equação
é igual a :
(a) 2005
(b) 2006
(c) 4010
(d) 4011
(e) 4012
(a) 2005
(b) 2006
(c) 4010
(d) 4011
(e) 4012
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O parâmetro
satisfaz e . Ou seja, é inteiro não-nulo e . - A equação em
é
- Pontos onde a expressão não está definida (denominadores nulos):
. Esses valores são excluídos. - O que o enunciado pede: o número de raízes reais da equação considerando todos os valores possíveis de
no intervalo dado (ou seja, contar todas as soluções reais obtidas quando varia por esses inteiros).
Passo 2
Vou simplificar a soma que aparece no lado esquerdo. Uso a identidade elementar de frações parciais:
válida sempre que
. Aplicando isso a cada termo com
para
obtemos um telescópio:
Ao somar os termos, os termos intermediários cancelam, ficando apenas as pontas:
desde que
. Portanto a soma original é igual a
(com as mesmas exclusões de domínio).
Passo 3
Substituo essa simplificação na equação original. O lado esquerdo é
vezes a soma, então a equação fica
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando de excluir os pontos onde isso é zero), obtemos a equação equivalente
Isso é um polinômio quadrático em
. Reescrevendo:
Passo 4
Vamos resolver a quadrática. A fórmula das raízes de
usa o discriminante
Como
, temos
e portanto
, logo
. Portanto para cada valor fixo de
a equação quadrática tem duas raízes reais e distintas dadas por
Também deve-se verificar que essas raízes não coincidem com os pontos excluídos
. Se alguma raiz fosse, por exemplo,
ou
, então a equação
implicaria
, o que exigiria
, impossível. Se
então
é negativo, enquanto
; também impossível. Logo as duas raízes reais obtidas para cada
são válidas (não são pontos excluídos).
Passo 5
Agora contamos quantas raízes reais distintas existem quando
varia pelos inteiros não nulos com
.
- O conjunto de inteiros permitidos tem cardinalidade: há
inteiros positivos , mais inteiros negativos , total valores de . (Alternativamente, inteiros de a são números, mas excluindo sobra .) - Para cada valor fixo de
obtemos duas raízes reais da quadrática. Porém os valores e produzem o mesmo e portanto a mesma equação em ; ou seja, as raízes para e para coincidem. Portanto não podemos simplesmente multiplicar por contando assim raízes repetidas. - Em vez disso, olhar para os valores distintos de
. Os valores possíveis de quando varia são precisamente os quadrados
ou seja,
valores distintos de
.
- Para cada valor distinto de
a quadrática tem duas raízes reais distintas (já mostramos ). Duas raízes por cada um dos valores distintos de dá no total
raízes reais distintas ao considerar todos os
permitidos.
Resposta
4010