Se a \in \mathbb{Z}^{*} e-2005 \leq a \leq 2005, o número de raízes reais da equação
\frac{a^{2}}{x(x+1)}+\frac{a^{2}}{(x+1)(x+2)}+\frac{a^{2}}{(x+2)(x+3)}+\frac{a^{2}}{(x+3)(x+4)}+\frac{a^{2}}{(x+4)(x+5)}=1
é igual a :
(a) 2005
(b) 2006
(c) 4010
(d) 4011
(e) 4012

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O parâmetro a satisfaz a\in\mathbb{Z}^{*} e -2005\le a\le 2005. Ou seja, a é inteiro não-nulo e |a|\le 2005.
  • A equação em x é
\frac{a^{2}}{x(x+1)}+\frac{a^{2}}{(x+1)(x+2)}+\frac{a^{2}}{(x+2)(x+3)}+\frac{a^{2}}{(x+3)(x+4)}+\frac{a^{2}}{(x+4)(x+5)}=1.
  • Pontos onde a expressão não está definida (denominadores nulos): x\in\{0,-1,-2,-3,-4,-5\}. Esses valores são excluídos.
  • O que o enunciado pede: o número de raízes reais da equação considerando todos os valores possíveis de a no intervalo dado (ou seja, contar todas as soluções reais x obtidas quando a varia por esses inteiros).

Passo 2

Vou simplificar a soma que aparece no lado esquerdo. Uso a identidade elementar de frações parciais:
\frac{1}{t(t+1)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1},
válida sempre que t\neq0,-1. Aplicando isso a cada termo com t=x+k para k=0,1,2,3,4 obtemos um telescópio:
\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}
=\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)+\Big(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\Big)+\Big(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\Big)+\Big(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\Big)+\Big(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\Big).
Ao somar os termos, os termos intermediários cancelam, ficando apenas as pontas:
\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}=\frac{5}{x(x+5)},
desde que x\notin\{0,-1,-2,-3,-4,-5\}. Portanto a soma original é igual a \dfrac{5}{x(x+5)} (com as mesmas exclusões de domínio).

Passo 3

Substituo essa simplificação na equação original. O lado esquerdo é a^{2} vezes a soma, então a equação fica
a^{2}\cdot\frac{5}{x(x+5)}=1.
Multiplicando ambos os lados por x(x+5) (lembrando de excluir os pontos onde isso é zero), obtemos a equação equivalente
5a^{2}=x(x+5).
Isso é um polinômio quadrático em x. Reescrevendo:
x^{2}+5x-5a^{2}=0.

Passo 4

Vamos resolver a quadrática. A fórmula das raízes de x^{2}+5x-5a^{2}=0 usa o discriminante
\Delta=5^{2}-4\cdot1\cdot(-5a^{2})=25+20a^{2}=5(5+4a^{2}).
Como a\neq0, temos a^{2}\ge1 e portanto 5+4a^{2}\ge9, logo \Delta>0. Portanto para cada valor fixo de a a equação quadrática tem duas raízes reais e distintas dadas por
x=\frac{-5\pm\sqrt{\Delta}}{2}.
Também deve-se verificar que essas raízes não coincidem com os pontos excluídos 0,-1,-2,-3,-4,-5. Se alguma raiz fosse, por exemplo, 0 ou -5, então a equação x(x+5)=5a^{2} implicaria 0=5a^{2}, o que exigiria a=0, impossível. Se x\in\{-1,-2,-3,-4\} então x(x+5) é negativo, enquanto 5a^{2}>0; também impossível. Logo as duas raízes reais obtidas para cada a\neq0 são válidas (não são pontos excluídos).

Passo 5

Agora contamos quantas raízes reais distintas existem quando a varia pelos inteiros não nulos com -2005\le a\le 2005.
  • O conjunto de inteiros permitidos tem cardinalidade: há 2005 inteiros positivos 1,2,\dots,2005, mais 2005 inteiros negativos -1,\dots,-2005, total 4010 valores de a. (Alternativamente, inteiros de -2005 a 2005 são 4011 números, mas excluindo 0 sobra 4010.)
  • Para cada valor fixo de a obtemos duas raízes reais da quadrática. Porém os valores a e -a produzem o mesmo a^{2} e portanto a mesma equação em x; ou seja, as raízes para a e para -a coincidem. Portanto não podemos simplesmente multiplicar 4010 por 2 contando assim raízes repetidas.
  • Em vez disso, olhar para os valores distintos de a^{2}. Os valores possíveis de a^{2} quando a varia são precisamente os quadrados
1^{2},2^{2},\dots,2005^{2},
ou seja, 2005 valores distintos de a^{2}.
  • Para cada valor distinto de a^{2} a quadrática x^{2}+5x-5a^{2}=0 tem duas raízes reais distintas (já mostramos \Delta>0). Duas raízes por cada um dos 2005 valores distintos de a^{2} dá no total
2\times 2005=4010
raízes reais distintas ao considerar todos os a permitidos.

Resposta

4010

Exercícios relacionados