Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto imagem, ou “range”) de
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - Não há restrições adicionais no enunciado (nenhum denominador, raiz, logaritmo etc.).
Passo 2
O que é domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a expressão da função faz sentido (está bem definida). Aqui a regra é somar
com
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada
Por que isso importa para
?
- A soma
está bem definida para qualquer número real . Não há divisão por zero, nem raiz de índice par de número negativo, nem logaritmo de argumento não positivo.
Logo, qualqueré aceitável.
Conclusão do domínio:
Passo 3
O que é imagem (conjunto imagem)?
A imagem é o conjunto de todos os valores que a função assume quando
percorre o domínio. Em símbolos,
se existe
tal que
.
A imagem é o conjunto de todos os valores
Para
, faça o raciocínio direto: seja um valor qualquer
. Se existir um
tal que
, então
está na imagem. Resolva para
:
Se
for qualquer número real, então
também é real, e pertence ao domínio. Portanto, qualquer
é alcançado por algum
.
Conclusão da imagem:
Passo 4
Interpretação geométrica e propriedades úteis (para esboçar o gráfico):
-
é uma função afim (reta), do tipo com coeficiente angular e coeficiente linear . - Aqui
(slope) indica a inclinação: significa que, ao aumentar em , aumenta em (subida de 1 para cada avanço de 1). -
é o ponto onde a reta cruza o eixo (quando ).
- Aqui
- Ponto de interseção com o eixo
: calcule . Logo o ponto está na reta. - Ponto de interseção com o eixo
: resolva . Logo o ponto está na reta. - A função é estritamente crescente e bijetora (uma-para-um e sobre), o que condiz com domínio e imagem ambos iguais a
.
Passo 5
Como esboçar o gráfico passo a passo (faça isso no caderno; é rápido):
- Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal
e eixo vertical . - Marque e rotule alguns pontos importantes em TeX:
-
(interseção com o eixo ), -
(interseção com o eixo ), - opcionalmente
para ver o padrão ( ).
-
- Ligue esses pontos com uma régua; a reta que passa por eles é o gráfico de
. Prolongue a reta com setas nas duas extremidades para indicar que ela continua indefinidamente. - Verifique a inclinação: ao ir de
para a subida é de quando o avanço em é , confirmando .
Descrição rápida do esboço (para visualizar): uma reta com inclinação positiva de
aproximada, cortando o eixo
em
e o eixo
em
.
Passo 6
Resumo final e dica de prova (motivação e truque rápido):
- Se a função for da forma
com , então domínio e imagem são . Aqui . - Para checar imagem de funções lineares, uma forma rápida é isolar
em : . Se para todo o obtido estiver no domínio (aqui sempre estará), então a imagem é .
Força — você já consegue desenhar essa reta em menos de um minuto na prova. =)