Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
u(x)=x+2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função u(x)=x+2 e pede três coisas:
  • Encontrar o domínio de u.
  • Encontrar a imagem (conjunto imagem, ou “range”) de u.
  • Esboçar o gráfico de u.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é u(x)=x+2.
  • Não há restrições adicionais no enunciado (nenhum denominador, raiz, logaritmo etc.).

Passo 2

O que é domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada x para os quais a expressão da função faz sentido (está bem definida). Aqui a regra é somar x com 2.
Por que isso importa para u(x)=x+2?
  • A soma x+2 está bem definida para qualquer número real x. Não há divisão por zero, nem raiz de índice par de número negativo, nem logaritmo de argumento não positivo.
    Logo, qualquer x\in\mathbb{R} é aceitável.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(u)=\mathbb{R}.

Passo 3

O que é imagem (conjunto imagem)?
A imagem é o conjunto de todos os valores y que a função assume quando x percorre o domínio. Em símbolos, y\in\text{Im}(u) se existe x\in\text{Dom}(u) tal que y=u(x).
Para u(x)=x+2, faça o raciocínio direto: seja um valor qualquer y. Se existir um x tal que y=x+2, então y está na imagem. Resolva para x:
y=x+2 \quad\Longrightarrow\quad x=y-2.
Se y for qualquer número real, então x=y-2 também é real, e pertence ao domínio. Portanto, qualquer y\in\mathbb{R} é alcançado por algum x.
Conclusão da imagem:
\text{Im}(u)=\mathbb{R}.

Passo 4

Interpretação geométrica e propriedades úteis (para esboçar o gráfico):
  • u(x)=x+2 é uma função afim (reta), do tipo y=mx+b com coeficiente angular m=1 e coeficiente linear b=2.
    • Aqui m (slope) indica a inclinação: m=1 significa que, ao aumentar x em 1, u(x) aumenta em 1 (subida de 1 para cada avanço de 1).
    • b é o ponto onde a reta cruza o eixo y (quando x=0).
  • Ponto de interseção com o eixo y: calcule u(0)=0+2=2. Logo o ponto (0,2) está na reta.
  • Ponto de interseção com o eixo x: resolva u(x)=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2. Logo o ponto (-2,0) está na reta.
  • A função é estritamente crescente e bijetora (uma-para-um e sobre), o que condiz com domínio e imagem ambos iguais a \mathbb{R}.

Passo 5

Como esboçar o gráfico passo a passo (faça isso no caderno; é rápido):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal x e eixo vertical y.
  2. Marque e rotule alguns pontos importantes em TeX:
    • ( -2,0 ) (interseção com o eixo x),
    • ( 0,2 ) (interseção com o eixo y),
    • opcionalmente ( 1,3 ) para ver o padrão ( u(1)=1+2=3).
  3. Ligue esses pontos com uma régua; a reta que passa por eles é o gráfico de u. Prolongue a reta com setas nas duas extremidades para indicar que ela continua indefinidamente.
  4. Verifique a inclinação: ao ir de (0,2) para (1,3) a subida é de 1 quando o avanço em x é 1, confirmando m=1.
Descrição rápida do esboço (para visualizar): uma reta com inclinação positiva de 45^\circ aproximada, cortando o eixo y em 2 e o eixo x em -2.

Passo 6

Resumo final e dica de prova (motivação e truque rápido):
  • Se a função for da forma u(x)=ax+b com a\neq 0, então domínio e imagem são \mathbb{R}. Aqui a=1\neq0.
  • Para checar imagem de funções lineares, uma forma rápida é isolar x em y=ax+b: x=(y-b)/a. Se para todo y\in\mathbb{R} o x obtido estiver no domínio (aqui sempre estará), então a imagem é \mathbb{R}.
Força — você já consegue desenhar essa reta em menos de um minuto na prova. =)

Resposta

\text{Dom}(u)=\mathbb{R}
\text{Im}(u)=\mathbb{R}

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