Elimine o módulo.
|x+1|+|x|

Passo 1

O enunciado pede para “eliminar o módulo” da expressão |x+1|+|x|. Ou seja, escrever essa expressão sem os sinais de valor absoluto, em forma equivalente (normalmente em partes, dependendo do sinal de x+1 e de x). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é |x+1|+|x|.
  • Os pontos onde os sinais dentro dos módulos mudam são as raízes de x+1 e de x, isto é, x=-1 e x=0.

Passo 2

Relembrando a definição do valor absoluto (para eu e você não nos enrolarmos): para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}
Ou seja, o módulo “retira” o sinal negativo se houver, transformando o número em não negativo. Vamos aplicar essa definição aos termos x+1\] e \(x.]

Passo 3

Identificar as regiões em que cada expressão dentro do módulo tem sinal fixo. As expressões são x+1 e x. As mudanças de sinal ocorrem em:
  • x+1=0 quando x = -1.
  • x=0 quando x = 0.
    Portanto, dividimos a reta real em três intervalos com sinais constantes:
  1. x < -1,
  2. -1 \le x < 0,
  3. x \ge 0.

Passo 4

Caso 1: x < -1.
Aqui x+1 < 0 e x < 0. Pela definição do módulo:
|x+1| = -(x+1),\qquad |x| = -x.
Somando:
|x+1|+|x| = -(x+1) + (-x) = -x-1 - x = -2x-1.
Logo, para x < -1 a expressão vale -2x-1.

Passo 5

Caso 2: -1 \le x < 0.
Aqui x+1 \ge 0 (pois x\ge -1) e x < 0. Assim:
|x+1| = x+1,\qquad |x| = -x.
Somando:
|x+1|+|x| = (x+1) + (-x) = 1.
Portanto, para -1 \le x < 0 a expressão é a constante 1.

Passo 6

Caso 3: x \ge 0.
Aqui x+1 \ge 0 e x \ge 0. Então:
|x+1| = x+1,\qquad |x| = x.
Somando:
|x+1|+|x| = (x+1) + x = 2x+1.
Logo, para x \ge 0 a expressão vale 2x+1.

Passo 7

Resumo e observações rápidas (para fixar): a função x\mapsto |x+1|+|x| é uma função afim por partes (linear em cada intervalo), contínua em toda reta real (valores coincidem nas fronteiras: em x=-1 ambos os lados dão 1; em x=0 ambos os lados dão 1), e tem formato em “V” deslocado por causa dos termos.

Resposta

|x+1|+|x|=\begin{cases} -2x-1, & x< -1,\\[4pt] 1, & -1\le x<0,\\[4pt] 2x+1, & x\ge 0. \end{cases}]

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