Elimine o módulo.
Passo 1
O enunciado pede para “eliminar o módulo” da expressão
. Ou seja, escrever essa expressão sem os sinais de valor absoluto, em forma equivalente (normalmente em partes, dependendo do sinal de
e de
). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é
. - Os pontos onde os sinais dentro dos módulos mudam são as raízes de
e de , isto é, e .
Passo 2
Relembrando a definição do valor absoluto (para eu e você não nos enrolarmos): para qualquer número real
Ou seja, o módulo “retira” o sinal negativo se houver, transformando o número em não negativo. Vamos aplicar essa definição aos termos
.]
Passo 3
Identificar as regiões em que cada expressão dentro do módulo tem sinal fixo. As expressões são
e
. As mudanças de sinal ocorrem em:
-
quando . -
quando .
Portanto, dividimos a reta real em três intervalos com sinais constantes:
-
, -
, -
.
Passo 4
Caso 1:
.
Aqui e
. Pela definição do módulo:
Aqui
Somando:
Logo, para
a expressão vale
.
Passo 5
Caso 2:
.
Aqui (pois
) e
. Assim:
Aqui
Somando:
Portanto, para
a expressão é a constante
.
Passo 6
Caso 3:
.
Aqui e
. Então:
Aqui
Somando:
Logo, para
a expressão vale
.
Passo 7
Resumo e observações rápidas (para fixar): a função
é uma função afim por partes (linear em cada intervalo), contínua em toda reta real (valores coincidem nas fronteiras: em
ambos os lados dão
; em
ambos os lados dão
), e tem formato em “V” deslocado por causa dos termos.