Encontre o domínio e as raízes das funções a seguir:
y=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional y=\dfrac{x^{2}}{x^{2}-1} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função (quais valores reais de x são permitidos).
  • Encontrar as raízes da função (os valores de x para os quais y=0).
As informações que temos são apenas a expressão algébrica da função.

Passo 2

O que significa encontrar o domínio aqui? Para uma função racional da forma \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}, o único problema que pode surgir no domínio são valores de x que tornam o denominador igual a zero (pois divisão por zero é proibida). Então devemos exigir que o denominador seja diferente de zero:
x^{2}-1 \neq 0.
Agora vou resolver essa desigualdade (que na prática é achar os x excluídos).

Passo 3

Resolver x^{2}-1 \neq 0. Primeiro igualo a zero para encontrar os pontos proibidos:
x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1.
Extraindo raiz quadrada:
x=\pm 1.
Portanto x=1 e x=-1 são os valores que anulam o denominador e devem ser excluídos do domínio. Concluo que todos os outros números reais são permitidos.

Passo 4

Escrevendo o domínio em linguagem matemática: o domínio é o conjunto dos números reais exceto \pm 1. Em notação:
\text{Domínio}=\mathbb{R}\setminus\{\,-1,\,1\,\}.í

Passo 5

Agora vamos achar as raízes: pelo significado, raízes são os x tais que y=0. Começo resolvendo
\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=0.
Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. Então preciso resolver o sistema:
x^{2}=0\qquad\text{e}\qquad x^{2}-1\neq 0.

Passo 6

Resolver x^{2}=0
x=0.
Verifico se esse x está no domínio: para x=0 o denominador vale 0^{2}-1=-1\neq 0, logo x=0 é permitido. Portanto x=0 é uma raiz da função. Observação adicional (útil para interpretar gráficos): o numerador é x^{2}, então a raiz em x=0 tem multiplicidade 2 (graficamente a curva toca o eixo x em 0 sem atravessá-lo).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-1,\,1\,\}
Raízes: x=0

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