Encontre o domínio e as raízes das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função (quais valores reais de
são permitidos). - Encontrar as raízes da função (os valores de
para os quais ).
As informações que temos são apenas a expressão algébrica da função.
Passo 2
O que significa encontrar o domínio aqui? Para uma função racional da forma
, o único problema que pode surgir no domínio são valores de
que tornam o denominador igual a zero (pois divisão por zero é proibida). Então devemos exigir que o denominador seja diferente de zero:
Agora vou resolver essa desigualdade (que na prática é achar os
excluídos).
Passo 3
Resolver
. Primeiro igualo a zero para encontrar os pontos proibidos:
Extraindo raiz quadrada:
Portanto
e
são os valores que anulam o denominador e devem ser excluídos do domínio. Concluo que todos os outros números reais são permitidos.
Passo 4
Escrevendo o domínio em linguagem matemática: o domínio é o conjunto dos números reais exceto
. Em notação:
Passo 5
Agora vamos achar as raízes: pelo significado, raízes são os
tais que
. Começo resolvendo
Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. Então preciso resolver o sistema:
Passo 6
Resolver
dá
Verifico se esse
está no domínio: para
o denominador vale
, logo
é permitido. Portanto
é uma raiz da função. Observação adicional (útil para interpretar gráficos): o numerador é
, então a raiz em
tem multiplicidade 2 (graficamente a curva toca o eixo
em
sem atravessá-lo).
Resposta
Domínio:
Raízes:
Raízes: