Dadas as funções a seguir, construa seus gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para construir o gráfico. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que temos:
- Função:
. - O objetivo é obter todos os elementos necessários para desenhar o gráfico à mão: domínio, interceptos com os eixos, comportamento para
, assíntotas, derivadas para monotonicidade e pontos críticos, concavidade/inflecções, e pontos notáveis a marcar no esboço.
Passo 2
Domínio e continuidade.
- A função exponencial
está definida para todo , portanto o domínio é . - Soma e produto de funções contínuas são contínuas, então
é contínua em todo . Isso significa que o gráfico será uma curva única, sem quebras.
Passo 3
Limites nas extremidades (comportamento para
).
- Para
:
logo
Mas é útil olhar a diferença com a reta
:
Isto mostra que, para
, a curva aproxima-se da reta
.
- Para
:
logo
pois o termo exponencial domina e vai para
. Portanto à esquerda a função cresce muito.
Passo 4
Assíntota oblíqua.
- Como vimos,
. Isso significa que a reta é uma assíntota oblíqua do gráfico quando . - Além disso, para todo
vale , então . Assim a curva permanece sempre acima da reta e a aproxima por cima quando .
Passo 5
Derivadas (explicando como calcular).
- Regra usada: a derivada de
é . Para temos , então . - Derivando
obtemos a derivada primeira:
- Derivada segunda (para concavidade): derivando
,
Passo 6
Análise da concavidade e pontos de inflexão.
- Observando a segunda derivada:
para todo . - Como
sempre, a curva é estritamente côncava para cima (convexa) em toda a reta real. - Não existem pontos de inflexão, porque para ter inflexão precisaríamos que
mudasse de sinal (ou fosse zero com mudança de sinal), o que não acontece aqui.
Passo 7
Pontos críticos e classificação (mínimos/máximos).
- Pontos críticos ocorrem quando
ou indefinida (aqui definida em todo lugar). Resolver :
Tomando logaritmo,
- Valor de
nesse ponto:
- Classificação: como
, o ponto é um mínimo local. Como a função é convexa e tende a quando , esse mínimo é global.
Passo 8
Monotonicidade (sinais de
).
-
. Note que é decrescente quando aumenta, portanto aumenta com . - Para
temos , então : a função é decrescente em . - Para
temos , então : a função é crescente em . - Em
a função tem o mínimo global.
Passo 9
Interceptos com os eixos.
- Intercepto em
(quando ):
logo ponto
.
- Intercepto em
(resolver ). Como o mínimo global é , a função nunca atinge zero. Portanto não há interceptos com o eixo (nenhuma raiz real).
Passo 10
Outros pontos e tangentes úteis (para ajudar a desenhar).
- Valor mínimo:
com e . - Ponto em
: (acima do mínimo). - Declividade no ponto
: . Tangente em : , ou seja . Útil para traçar a forma local. - Para
muito grande a curva aproxima-se de por cima; para a curva sobe rapidamente (devido a ).
Passo 11
Instrução prática passo-a-passo para esboçar o gráfico à mão (faça assim na prova):
- Desenhe os eixos
e e trace a reta como guia (assíntota à direita). - Marque o ponto mínimo
e o ponto . - Desenhe a curva vindo de
à esquerda (crescendo rapidamente), descendo de forma suave e convexa até o mínimo em , e então subindo \emph{sempre convexa} aproximando-se da reta por cima quando . - Se quiser, marque a tangente em
com equação para acertar a inclinação naquele ponto. - Não coloque interseção com o eixo
(não existe raiz). Indique que a curva fica sempre acima da reta .
Resposta
Domínio:
.
Intercepto em :
. Sem interceptos em
(nenhuma raiz real).
Derivadas: ,
.
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
.
Mínimo global: ,
.
Concavidade: côncava para cima em todo (sem pontos de inflexão).
Assíntota oblíqua quando :
(a curva aproxima-se de
por cima).
Intercepto em
Derivadas:
Monotonicidade: decrescente em
Mínimo global:
Concavidade: côncava para cima em todo
Assíntota oblíqua quando