Dadas as funções a seguir, construa seus gráficos.
y=x+2 e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=x+2e^{-x} e pede para construir o gráfico. Vou listar claramente o que é pedido e as informações que temos:
  • Função: y=x+2e^{-x}.
  • O objetivo é obter todos os elementos necessários para desenhar o gráfico à mão: domínio, interceptos com os eixos, comportamento para x\to\pm\infty, assíntotas, derivadas para monotonicidade e pontos críticos, concavidade/inflecções, e pontos notáveis a marcar no esboço.

Passo 2

Domínio e continuidade.
  • A função exponencial e^{-x} está definida para todo x\in\mathbb{R}, portanto o domínio é \mathbb{R}.
  • Soma e produto de funções contínuas são contínuas, então y=x+2e^{-x} é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que o gráfico será uma curva única, sem quebras.

Passo 3

Limites nas extremidades (comportamento para x\to\pm\infty).
  • Para x\to+\infty: \lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0,
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\lim_{x\to+\infty} \bigl(x+2e^{-x}\bigr)=\lim_{x\to+\infty} x + \lim_{x\to+\infty} 2e^{-x}=+\infty.
Mas é útil olhar a diferença com a reta y=x:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(y-x\bigr)=\lim_{x\to+\infty} 2e^{-x}=0.
Isto mostra que, para x\to+\infty, a curva aproxima-se da reta y=x.
  • Para x\to-\infty: \lim_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty,
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\lim_{x\to-\infty} \bigl(x+2e^{-x}\bigr)=+\infty,
pois o termo exponencial domina e vai para +\infty. Portanto à esquerda a função cresce muito.

Passo 4

Assíntota oblíqua.
  • Como vimos, \lim_{x\to+\infty}\bigl(y-x\bigr)=0. Isso significa que a reta y=x é uma assíntota oblíqua do gráfico quando x\to+\infty.
  • Além disso, para todo x vale 2e^{-x}>0, então y-x=2e^{-x}>0. Assim a curva permanece sempre acima da reta y=x e a aproxima por cima quando x\to+\infty.

Passo 5

Derivadas (explicando como calcular).
  • Regra usada: a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}. Para u(x)=-x temos u'(x)=-1, então \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
  • Derivando y=x+2e^{-x} obtemos a derivada primeira:
y'= \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) + 2\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=1 + 2(-e^{-x})=1-2e^{-x}.
  • Derivada segunda (para concavidade): derivando y',
y''=\frac{d}{dx}\bigl(1-2e^{-x}\bigr)= -2\frac{d}{dx}e^{-x}= -2(-e^{-x})=2e^{-x}.

Passo 6

Análise da concavidade e pontos de inflexão.
  • Observando a segunda derivada: y''(x)=2e^{-x}>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Como y''>0 sempre, a curva é estritamente côncava para cima (convexa) em toda a reta real.
  • Não existem pontos de inflexão, porque para ter inflexão precisaríamos que y'' mudasse de sinal (ou fosse zero com mudança de sinal), o que não acontece aqui.

Passo 7

Pontos críticos e classificação (mínimos/máximos).
  • Pontos críticos ocorrem quando y'=0 ou y' indefinida (aqui y' definida em todo lugar). Resolver y'=0:
1-2e^{-x}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{-x}=\tfrac{1}{2}.
Tomando logaritmo,
-x=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad x=\ln 2.
  • Valor de y nesse ponto:
y(\ln 2)=\ln 2 + 2e^{-\ln 2}=\ln 2 + 2\cdot\frac{1}{2}=\ln 2 + 1.
  • Classificação: como y''(\ln 2)=2e^{-\ln 2}=2\cdot\frac{1}{2}=1>0, o ponto é um mínimo local. Como a função é convexa e tende a +\infty quando x\to\pm\infty, esse mínimo é global.

Passo 8

Monotonicidade (sinais de y').
  • y'(x)=1-2e^{-x}. Note que e^{-x} é decrescente quando x aumenta, portanto y' aumenta com x.
  • Para x<\ln 2 temos e^{-x}>\tfrac{1}{2}, então y'<0: a função é decrescente em (-\infty,\ln 2).
  • Para x>\ln 2 temos e^{-x}<\tfrac{1}{2}, então y'>0: a função é crescente em (\ln 2,+\infty).
  • Em x=\ln 2 a função tem o mínimo global.

Passo 9

Interceptos com os eixos.
  • Intercepto em y (quando x=0):
y(0)=0+2e^{0}=2,
logo ponto (0,2).
  • Intercepto em x (resolver x+2e^{-x}=0). Como o mínimo global é y_{\min}=\ln 2 + 1\approx 1,693>0, a função nunca atinge zero. Portanto não há interceptos com o eixo x (nenhuma raiz real).

Passo 10

Outros pontos e tangentes úteis (para ajudar a desenhar).
  • Valor mínimo: \bigl(\ln 2,\\ \ln 2 + 1\bigr) com \ln 2\approx 0{,}693 e \ln 2+1\approx 1{,}693.
  • Ponto em x=0: (0,2) (acima do mínimo).
  • Declividade no ponto x=0: y'(0)=1-2e^{0}=1-2=-1. Tangente em x=0: y-2=-1(x-0), ou seja y=-x+2. Útil para traçar a forma local.
  • Para x muito grande a curva aproxima-se de y=x por cima; para x\to-\infty a curva sobe rapidamente (devido a 2e^{-x}).

Passo 11

Instrução prática passo-a-passo para esboçar o gráfico à mão (faça assim na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e trace a reta y=x como guia (assíntota à direita).
  2. Marque o ponto mínimo \bigl(\ln 2,\\ \ln 2 + 1\bigr) e o ponto (0,2).
  3. Desenhe a curva vindo de +\infty à esquerda (crescendo rapidamente), descendo de forma suave e convexa até o mínimo em x=\ln 2, e então subindo \emph{sempre convexa} aproximando-se da reta y=x por cima quando x\to+\infty.
  4. Se quiser, marque a tangente em x=0 com equação y=-x+2 para acertar a inclinação naquele ponto.
  5. Não coloque interseção com o eixo x (não existe raiz). Indique que a curva fica sempre acima da reta y=x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Intercepto em y: (0,2). Sem interceptos em x (nenhuma raiz real).
Derivadas: y'=1-2e^{-x}, y''=2e^{-x}>0.
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,\ln 2), crescente em (\ln 2,+\infty).
Mínimo global: x=\ln 2, y_{\min}=\ln 2+1.
Concavidade: côncava para cima em todo \mathbb{R} (sem pontos de inflexão).
Assíntota oblíqua quando x\to+\infty: y=x (a curva aproxima-se de y=x por cima).

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