Encontre o domínio e as raízes das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
As perguntas são: encontrar (1) o domínio da função e (2) as raízes (valores de com
).
Informações relevantes fornecidas: a função é dada como produto de quatro fatores lineares em ; um dos fatores contém a constante
(que é um número real aproximado por
).
As perguntas são: encontrar (1) o domínio da função e (2) as raízes (valores de
Informações relevantes fornecidas: a função é dada como produto de quatro fatores lineares em
Passo 2
O que é domínio e como determinar aqui.
Domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a expressão que define a função está bem definida (faz sentido). Regras práticas:
Domínio de uma função é o conjunto de valores de
- Se a expressão contém divisão por
, precisamos evitar zeros no denominador. - Se contém raiz par de uma expressão com
, precisamos garantir que o radicando seja não negativo. - Se for soma, produto, potência polinomial etc., normalmente está definida para todo
.
No nosso caso a função é produto de fatores lineares e a única ocorrência de raiz é em
, que é uma constante (já avaliada, não envolve
). Não há divisão nem raiz de expressão que dependa de
. Logo não existe restrição sobre
: todos os reais são permitidos.
Passo 3
Conclusão sobre o domínio com explicação final simples:
Como a função é um polinômio (produto de fatores polinomiais), polinômios estão definidos para qualquer número real. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Como a função é um polinômio (produto de fatores polinomiais), polinômios estão definidos para qualquer número real. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Passo 4
O que são raízes e como encontrá-las aqui.
Raiz (ou zero) da função é qualquer tal que
. Usamos a propriedade do produto igual a zero (propriedade do zero):
Raiz (ou zero) da função é qualquer
Aplicando à nossa função, o produto é zero exatamente quando algum dos fatores é zero:
Passo 5
Resolver cada equação fator a fator:
- De
obtemos . - De
obtemos . - De
obtemos . - De
obtemos .
Todos os fatores são lineares e diferentes entre si, portanto cada raiz tem multiplicidade
(ou seja, a função muda de sinal ao atravessar cada raiz).
Passo 6
Ordem das raízes no eixo real e observação final:
Ordenando numericamente: . Como cada multiplicidade é ímpar (igual a
), o sinal de
troca ao passar por cada uma dessas raízes. Isso pode ser útil se for preciso esboçar o gráfico rápido na prova.
Ordenando numericamente:
Resposta
Domínio:
Raízes:
Raízes: