Encontre o domínio e as raízes das funções a seguir:
y=x(x-1)(x-2)(x-\sqrt{2})

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x(x-1)(x-2)\bigl(x-\sqrt{2}\bigr)
As perguntas são: encontrar (1) o domínio da função e (2) as raízes (valores de x com y=0).
Informações relevantes fornecidas: a função é dada como produto de quatro fatores lineares em x; um dos fatores contém a constante \sqrt{2} (que é um número real aproximado por 1,414\ldots).

Passo 2

O que é domínio e como determinar aqui.
Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função está bem definida (faz sentido). Regras práticas:
  • Se a expressão contém divisão por x, precisamos evitar zeros no denominador.
  • Se contém raiz par de uma expressão com x, precisamos garantir que o radicando seja não negativo.
  • Se for soma, produto, potência polinomial etc., normalmente está definida para todo x\in\mathbb{R}.
No nosso caso a função é produto de fatores lineares e a única ocorrência de raiz é em \sqrt{2}, que é uma constante (já avaliada, não envolve x). Não há divisão nem raiz de expressão que dependa de x. Logo não existe restrição sobre x: todos os reais são permitidos.

Passo 3

Conclusão sobre o domínio com explicação final simples:
Como a função é um polinômio (produto de fatores polinomiais), polinômios estão definidos para qualquer número real. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais.

Passo 4

O que são raízes e como encontrá-las aqui.
Raiz (ou zero) da função é qualquer x tal que y=0. Usamos a propriedade do produto igual a zero (propriedade do zero):
\text{se }a\cdot b\cdot c\cdots = 0\text{ então pelo menos um dos fatores }a,b,c,\ldots \text{ é zero.}ãé
Aplicando à nossa função, o produto é zero exatamente quando algum dos fatores é zero:
x=0,\quad x-1=0,\quad x-2=0,\quad x-\sqrt{2}=0.

Passo 5

Resolver cada equação fator a fator:
  • De x=0 obtemos x=0.
  • De x-1=0 obtemos x=1.
  • De x-2=0 obtemos x=2.
  • De x-\sqrt{2}=0 obtemos x=\sqrt{2}.
Todos os fatores são lineares e diferentes entre si, portanto cada raiz tem multiplicidade 1 (ou seja, a função muda de sinal ao atravessar cada raiz).

Passo 6

Ordem das raízes no eixo real e observação final:
Ordenando numericamente: 0 < 1 < \sqrt{2}\approx1,414\ldots < 2. Como cada multiplicidade é ímpar (igual a 1), o sinal de y troca ao passar por cada uma dessas raízes. Isso pode ser útil se for preciso esboçar o gráfico rápido na prova.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Raízes: x=0,\;1,\;\sqrt{2},\;2

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