Demonstre:
, sendo
o ângulo entre os vetores.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se demonstrar a igualdade
onde:
-
e são vetores em ; -
é o comprimento (módulo) de ; -
é o comprimento (módulo) de ; -
é o ângulo entre e , com ; -
é a função seno de .
Lista clara das informações relevantes:
- Sabe-se o ângulo
entre os vetores (definido pela relação do produto escalar). - Queremos a magnitude do produto vetorial
em função de , e .
Passo 2
Preparação conceitual e justificativa de escolher um sistema de coordenadas conveniente.
- Lembrete útil: o produto vetorial
depende dos vetores mas seu módulo e o ângulo entre os vetores são preservados por rotações rígidas do sistema de referência (rotações ortogonais). Ou seja, pode-se escolher um sistema de coordenadas ortonormal em que as expressões ficam mais simples, sem alterar comprimentos nem ângulos. - Portanto, é conveniente escolher um sistema ortonormal
tal que: -
esteja na direção de ; - o plano formado por
e contenha .
-
- Nessa base podemos escrever os vetores (coordenadas em relação a
) de forma muito simples. Esta escolha é legítima porque rotações mantêm módulos e ângulo entre vetores.
Passo 3
Escolha explícita de coordenadas e expressão dos vetores nessas coordenadas.
- Defina
e o versor . Tome . - Complete para um sistema ortonormal
com no plano de e e . - Nas coordenadas dessa base,
fica alinhado com o eixo :
- O vetor
, estando no mesmo plano , pode ser escrito pelo seu módulo e pelo ângulo medido a partir de :
- Observação: a relação
é a definição do cosseno do ângulo entre vetores (produto escalar).
Passo 4
Cálculo do produto vetorial nessas coordenadas (passo a passo).
- Recordando a fórmula componente a componente: para
e ,
- Aplicando essa fórmula a
e : - Primeiro componente:
. - Segundo componente:
. - Terceiro componente:
.
- Primeiro componente:
- Logo
Passo 5
Cálculo do módulo do produto vetorial e consideração sobre sinal.
- O módulo (norma) de um vetor
é . - Para
temos
- Como
, e para o ângulo entre vetores tem-se , então o valor absoluto é desnecessário:
Passo 6
Interpretação final e resumo didático (como lembrar na prova).
- Intuição geométrica rápida:
mede a área do paralelogramo gerado por e ; essa área é base altura . - Técnica prática para provas: alinhe
com um eixo e coloque no plano ; a componente única do produto vetorial aparece na direção perpendicular ao plano, facilitando o cálculo.