Demonstre:
\|\vec{A} \times \vec{B}\|=A B \operatorname{sen}(\theta), sendo \theta o ângulo entre os vetores.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se demonstrar a igualdade
\|\vec{A}\times\vec{B}\| = A B \operatorname{sen}(\theta),
onde:
  • \vec{A} e \vec{B} são vetores em \mathbb{R}^3;
  • A=\|\vec{A}\| é o comprimento (módulo) de \vec{A};
  • B=\|\vec{B}\| é o comprimento (módulo) de \vec{B};
  • \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}, com 0\le\theta\le\pi;
  • \operatorname{sen}(\theta) é a função seno de \theta.
Lista clara das informações relevantes:
  • Sabe-se o ângulo \theta entre os vetores (definido pela relação do produto escalar).
  • Queremos a magnitude do produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} em função de A, B e \theta.

Passo 2

Preparação conceitual e justificativa de escolher um sistema de coordenadas conveniente.
  • Lembrete útil: o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} depende dos vetores \vec{A},\vec{B} mas seu módulo e o ângulo entre os vetores são preservados por rotações rígidas do sistema de referência (rotações ortogonais). Ou seja, pode-se escolher um sistema de coordenadas ortonormal em que as expressões ficam mais simples, sem alterar comprimentos nem ângulos.
  • Portanto, é conveniente escolher um sistema ortonormal (\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3) tal que:
    • \hat{e}_1 esteja na direção de \vec{A};
    • o plano formado por \hat{e}_1 e \hat{e}_2 contenha \vec{B}.
  • Nessa base podemos escrever os vetores (coordenadas em relação a \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3) de forma muito simples. Esta escolha é legítima porque rotações mantêm módulos e ângulo entre vetores.

Passo 3

Escolha explícita de coordenadas e expressão dos vetores nessas coordenadas.
  • Defina A=\|\vec{A}\| e o versor \hat{u}=\dfrac{\vec{A}}{A}. Tome \hat{e}_1=\hat{u}.
  • Complete para um sistema ortonormal (\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3) com \hat{e}_2 no plano de \vec{A} e \vec{B} e \hat{e}_3=\hat{e}_1\times\hat{e}_2.
  • Nas coordenadas dessa base, \vec{A} fica alinhado com o eixo x:
\vec{A} = (A,0,0).
  • O vetor \vec{B}, estando no mesmo plano (\hat{e}_1,\hat{e}_2), pode ser escrito pelo seu módulo B e pelo ângulo \theta medido a partir de \vec{A}:
\vec{B} = (B\cos\theta,\, B\operatorname{sen}\theta,\,0).
  • Observação: a relação \cos\theta = \dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB} é a definição do cosseno do ângulo entre vetores (produto escalar).

Passo 4

Cálculo do produto vetorial nessas coordenadas (passo a passo).
  • Recordando a fórmula componente a componente: para \vec{X}=(X_x,X_y,X_z) e \vec{Y}=(Y_x,Y_y,Y_z),
\vec{X}\times\vec{Y} = \bigl(X_y Y_z - X_z Y_y,\; X_z Y_x - X_x Y_z,\; X_x Y_y - X_y Y_x\bigr).
  • Aplicando essa fórmula a \vec{A}=(A,0,0) e \vec{B}=(B\cos\theta,B\operatorname{sen}\theta,0):
    • Primeiro componente: A_y B_z - A_z B_y = 0\cdot 0 - 0\cdot (B\operatorname{sen}\theta) = 0.
    • Segundo componente: A_z B_x - A_x B_z = 0\cdot (B\cos\theta) - A\cdot 0 = 0.
    • Terceiro componente: A_x B_y - A_y B_x = A\cdot (B\operatorname{sen}\theta) - 0\cdot (B\cos\theta) = A B \operatorname{sen}\theta.
  • Logo
\vec{A}\times\vec{B} = \bigl(0,\,0,\, A B \operatorname{sen}\theta\bigr).

Passo 5

Cálculo do módulo do produto vetorial e consideração sobre sinal.
  • O módulo (norma) de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Para \vec{A}\times\vec{B} = (0,0,A B \operatorname{sen}\theta) temos
\|\vec{A}\times\vec{B}\| = \sqrt{0^2+0^2+(A B \operatorname{sen}\theta)^2} = |A B \operatorname{sen}\theta|.
  • Como A\ge0, B\ge0 e para o ângulo entre vetores \theta\in[0,\pi] tem-se \operatorname{sen}\theta\ge0, então o valor absoluto é desnecessário:
\|\vec{A}\times\vec{B}\| = A B \operatorname{sen}\theta.

Passo 6

Interpretação final e resumo didático (como lembrar na prova).
  • Intuição geométrica rápida: \|\vec{A}\times\vec{B}\| mede a área do paralelogramo gerado por \vec{A} e \vec{B}; essa área é base \times altura =A\cdot(B\operatorname{sen}\theta)=AB\operatorname{sen}\theta.
  • Técnica prática para provas: alinhe \vec{A} com um eixo e coloque \vec{B} no plano xy; a componente única do produto vetorial aparece na direção perpendicular ao plano, facilitando o cálculo.

Resposta

\|\vec{A}\times\vec{B}\|=A B \operatorname{sen}(\theta)

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