Para a primeira expressão, ela vale apenas quando x\geq 2.
Para a segunda expressão, ela vale apenas quando x<2.
Condições que importam para o domínio (que vêm do enunciado e das formas das expressões):
Uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero.
Uma raiz quadrada de índice 2 precisa ter o radicando maior ou igual a zero (para termos valores reais).]
Passo 2
Analisar a primeira expressão: \dfrac{x^{3}-8}{x-2} para x\geq 2.
Primeiro ver se há problema com o denominador: o denominador x-2 é zero em x=2. Então, mesmo que a regra diga x\geq 2, é preciso checar se x=2 é permitido pela expressão. Factoremos o numerador para ver o que acontece:
x^{3}-8 = (x-2)(x^{2}+2x+4).
Portanto, para x\neq 2 a fração simplifica para
\dfrac{x^{3}-8}{x-2} = x^{2}+2x+4.
No entanto, a expressão original \dfrac{x^{3}-8}{x-2} tem denominador zero em x=2, logo nesse ponto a expressão está indeterminada (não dá um número real definido). Simplificar algébrica/identicamente não remove o problema da definição original no ponto onde o denominador é zero.
Passo 3
Concluir o domínio da primeira ramificação: como em x=2 o denominador é zero, a expressão não está definida em x=2. Para todo x>2 o denominador é diferente de zero e a fração é igual a x^{2}+2x+4, um polinômio bem definido. Logo a parte superior contribui com o intervalo
(2,\infty).
Passo 4
Analisar a segunda expressão: \sqrt{-x^{2}-2x+3} para x<2.
Para que a raiz seja real, o radicando deve satisfazer
-x^{2}-2x+3 \geq 0.
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sentido da desigualdade) obtemos
x^{2}+2x-3 \leq 0.
Fatorando o polinômio do lado esquerdo:
x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3).
Queremos (x-1)(x+3)\leq 0. As raízes da igualdade são x=-3 e x=1. Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola para cima), o produto é negativo ou zero entre as raízes. Portanto a solução da desigualdade é
-3 \leq x \leq 1,
isto é, o intervalo [-3,1].
Passo 5
Interseção com a condição da ramificação: a segunda expressão só vale para x<2. O intervalo [-3,1] está inteiramente contido em (-\infty,2), portanto a segunda ramificação contribui com o intervalo
[-3,1].
Passo 6
Juntando as duas partes (união dos valores permitidos em cada ramificação): primeira parte dá (2,\infty) e a segunda dá [-3,1]. Note que x=2 não pertence a nenhuma das duas partes (na primeira é indeterminado, na segunda a condição é x<2), e os pontos entre 1 e 2 (por exemplo 1,5) deixam o radicando negativo e não são cobertos pela primeira ramificação. Portanto o domínio total é a união