João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo, perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente, João respondeu com o seguinte enigma: "A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é igual a 1^{\prime \prime}. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos cachorros e quantos gatos João tem. As informações dadas são (peguei-as do enunciado):
  • A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17.
  • A diferença entre o número de cachorros e de gatos é igual a 1^{\prime\prime}. Interpreto aqui 1^{\prime\prime} como o número 1 (um).
    As incógnitas que precisamos encontrar são: quantos cachorros e quantos gatos João possui. Além disso, por serem contagens de animais, os valores procurados devem ser números inteiros não negativos.

Passo 2

Definimos variáveis para traduzir o enunciado em equações:
  • Seja c o número de cachorros.
  • Seja g o número de gatos.
Agora escrevemos as informações dadas como um sistema de equações:
2c+3g=17
c-g=1
Também registramos a condição natural: c,g\in\mathbb{Z}_{\ge 0} (inteiros não negativos).

Passo 3

Vou usar o método da substituição, que é simples e seguro para um sistema de duas equações lineares. A ideia é isolar uma variável numa equação e substituir na outra. A segunda equação já é muito boa para isso: isole c:
c-g=1 \quad\Rightarrow\quad c=g+1.
Explicando: subtrair g dos dois lados mantém a igualdade e nos dá c expresso em função de g. Isso facilita substituir em outra equação.

Passo 4

Substituo c=g+1 na primeira equação 2c+3g=17. Fazendo isso:
2(g+1)+3g=17.
Agora desenvolvo os parênteses e somo termos semelhantes passo a passo:
2g+2+3g=17.

Passo 5

Junto os termos com g (soma os coeficientes) e deixo a equação numa forma simples:
5g+2=17.
Agora isolo g: subtraio 2 dos dois lados,
5g=15,
e finalmente divido por 5,
g=3.
Comentário didático: como 5g=15 e 5 divide 15, g é inteiro; isso é consistente com a necessidade de g ser número de gatos.

Passo 6

Com g=3, volto à relação c=g+1 para obter c:
c=3+1=4.
Portanto c=4 e g=3.

Passo 7

Faço a verificação final nas duas equações para garantir que não houve erro:
  • Verifico a primeira: 2c+3g=2\cdot4+3\cdot3=8+9=17, confirma.
  • Verifico a segunda: c-g=4-3=1, confirma.
Também vale notar que o sistema linear tem solução única sobre os reais e aqui essa solução é inteira não negativa, então é a solução correta e admissível para o problema de contagem de animais.

Passo 8

Resumo do método para a prova (dicas rápidas e amigas):
  • Traduz sempre em variáveis as quantidades pedidas.
  • Escreve as equações vindas do enunciado com cuidado.
  • Se uma equação permite isolar uma variável facilmente, use substituição — é rápido e pouco propenso a erro.
  • Sempre verifique substituindo a solução nas equações originais.
    Força aí — você tirou essa!

Resposta

Número de cachorros: 4
Número de gatos: 3

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