João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo, perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente, João respondeu com o seguinte enigma: "A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é igual a
. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos cachorros e quantos gatos João tem. As informações dadas são (peguei-as do enunciado):
- A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a
. - A diferença entre o número de cachorros e de gatos é igual a
. Interpreto aqui como o número (um).
As incógnitas que precisamos encontrar são: quantos cachorros e quantos gatos João possui. Além disso, por serem contagens de animais, os valores procurados devem ser números inteiros não negativos.
Passo 2
Definimos variáveis para traduzir o enunciado em equações:
- Seja
o número de cachorros. - Seja
o número de gatos.
Agora escrevemos as informações dadas como um sistema de equações:
Também registramos a condição natural:
(inteiros não negativos).
Passo 3
Vou usar o método da substituição, que é simples e seguro para um sistema de duas equações lineares. A ideia é isolar uma variável numa equação e substituir na outra. A segunda equação já é muito boa para isso: isole
:
Explicando: subtrair
dos dois lados mantém a igualdade e nos dá
expresso em função de
. Isso facilita substituir em outra equação.
Passo 4
Substituo
na primeira equação
. Fazendo isso:
Agora desenvolvo os parênteses e somo termos semelhantes passo a passo:
Passo 5
Junto os termos com
(soma os coeficientes) e deixo a equação numa forma simples:
Agora isolo
: subtraio
dos dois lados,
e finalmente divido por
,
Comentário didático: como
e
divide
,
é inteiro; isso é consistente com a necessidade de
ser número de gatos.
Passo 6
Com
, volto à relação
para obter
:
Portanto
e
.
Passo 7
Faço a verificação final nas duas equações para garantir que não houve erro:
- Verifico a primeira:
, confirma. - Verifico a segunda:
, confirma.
Também vale notar que o sistema linear tem solução única sobre os reais e aqui essa solução é inteira não negativa, então é a solução correta e admissível para o problema de contagem de animais.
Passo 8
Resumo do método para a prova (dicas rápidas e amigas):
- Traduz sempre em variáveis as quantidades pedidas.
- Escreve as equações vindas do enunciado com cuidado.
- Se uma equação permite isolar uma variável facilmente, use substituição — é rápido e pouco propenso a erro.
- Sempre verifique substituindo a solução nas equações originais.
Força aí — você tirou essa!
Resposta
Número de cachorros:
Número de gatos:
Número de gatos: