Encontre o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que encontrar o domínio da função
, que é uma função por partes. Isso significa que a função é definida de maneiras diferentes dependendo dos valores de
. Para isso, vamos precisar entender duas coisas principais: quando uma fração está bem definida e quando uma raiz quadrada não dá problema.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
:
Aqui, a preocupação é com o denominador. A fração só está definida se o denominador for diferente de zero. Então, precisamos garantir que
, ou seja,
. Porém, a condição dada é
. Isso significa que, na verdade,
não pode ser exatamente 2, então a parte válida para essa parte da função é
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da função quando
:
Para a raiz quadrada estar bem definida, o que está dentro dela, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por
(lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Agora, fatoramos a expressão quadrática:
Para resolver essa desigualdade, encontramos os valores de
que fazem o produto ser menor ou igual a zero. Isso ocorre entre as raízes
e
. Então, a solução dessa parte é
.
Resposta
Juntando ambas as partes, o domínio da função
é: