Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma cônica. O objetivo aqui é encontrar a equação canônica usando rotação e translação de eixos, e depois identificar que tipo de cônica é essa. A equação que a gente tem é:
Vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado (
 ) usando rotação de eixos e depois fazer uma translação para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos eliminar o termo cruzado (
 ) que está atrapalhando a identificação da cônica. Para isso, usamos uma rotação dos eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um certo ângulo 
  de modo que, na nova base, o termo 
  desapareça.
Passo 3
Para encontrar o ângulo 
  que elimina o termo 
 , usamos a fórmula:
Onde 
 , 
 , e 
 . Substituindo:
Então, 
 , e 
 .
Passo 4
Agora, vamos calcular 
  e 
 . Usando identidades trigonométricas:
Usando as fórmulas de ângulo duplo:
Passo 5
Com 
  e 
  encontrados, fazemos a mudança de coordenadas:
Agora, substituímos esses valores na equação original para eliminar o termo 
 .
Passo 6
Substituindo 
  e 
  na equação original:
Simplificando essa equação, os termos cruzados 
  serão eliminados.
Passo 7
Após simplificar, a equação fica sem o termo 
 :
Agora, precisamos fazer uma translação para eliminar os termos lineares e chegar à forma canônica.
Passo 8
Vamos realizar a translação substituindo 
  e 
 , de forma a completar o quadrado e eliminar os termos de primeira ordem. Ao resolver, encontramos os valores de 
  e 
  que zeram os termos lineares.
Passo 9
Após a translação, a equação assume a forma canônica:
Isso é a equação padrão de uma hipérbole.
Resposta
A equação canônica da cônica é:
E ela é uma hipérbole.