Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado: 
  é um subespaço vetorial de 
 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto 
  e queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço 
 . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Um conjunto 
  é um subespaço de 
  se:
- Contém o vetor zero: O vetor 
deve estar em .  - É fechado sob adição: Se 
e estão em , então também deve estar em .  - É fechado sob multiplicação por escalar: Se 
está em e é um número real, então também deve estar em .  
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto 
 .
Passo 3
1. Verificando se 
  contém o vetor zero:
O vetor zero em 
  é 
 . Vamos ver se ele pertence a 
 :
Como 
 , 
 . Portanto, 
 , o que significa que 
  não está em 
 .
Passo 4
2. Verificando a adição de vetores em 
 :
Mesmo que 
  não contenha o vetor zero, vamos supor que a gente queira ver se a soma de dois vetores de 
  também está em 
 . Seja 
  e 
  em 
 , então:
Para que 
  esteja em 
 , precisaríamos que:
Mas, na verdade:
Como 
  e 
 , temos:
Isso não é igual a 
  a menos que 
 , o que não é garantido. Portanto, 
  não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos ver se multiplicar um vetor de 
  por um escalar 
  mantém o vetor em 
 . Seja 
  em 
 , então:
Para 
  estar em 
 , precisaríamos que:
Isso significa que apenas quando 
  ou 
 , o vetor resultante está em 
 . Para qualquer outro valor de 
 , 
  não estará em 
 . Portanto, 
  não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto 
  não contém o vetor zero, não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de 
 .