encontre a equação característica da matriz por inspeção.
\left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 7 & 0 \\\\ 4 & 8 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação característica da matriz por inspeção. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 7 & 0 \\[4pt] 4 & 8 & 1\end{pmatrix}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{os elementos da matriz são } a_{11}=-3,\; a_{22}=7,\; a_{33}=1,ã
e todos os elementos acima da diagonal principal são nulos (ou seja, as entradas (1,2),(1,3),(2,3) são 0).]

Passo 2

Definição e objetivo: a equação característica é obtida pela determinante
\det(\lambda I - A)=0,
onde \lambda é o escalar incógnita e I é a matriz identidade 3\times3. Vamos escrever \lambda I - A:
\lambda I - A = \begin{pmatrix}\lambda-(-3) & 0 & 0 \\[4pt] -2 & \lambda-7 & 0 \\[4pt] -4 & -8 & \lambda-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda+3 & 0 & 0 \\[4pt] -2 & \lambda-7 & 0 \\[4pt] -4 & -8 & \lambda-1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Propriedade usada (explicada de forma simples): se uma matriz é triangular (todos os elementos acima ou todos abaixo da diagonal são zero), então o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Aqui \lambda I - A é triangular inferior (zeros acima da diagonal), logo
\det(\lambda I - A)=(\lambda+3)\,(\lambda-7)\,(\lambda-1).
Para ver isso passo a passo: expandindo a determinante pela primeira linha (que tem zeros nas colunas 2 e 3),
\det(\lambda I - A)=(\lambda+3)\det\begin{pmatrix}\lambda-7 & 0 \\[4pt] -8 & \lambda-1\end{pmatrix}.
E a determinante 2\times2 acima é
(\lambda-7)(\lambda-1)-0\cdot(-8)=(\lambda-7)(\lambda-1).
Portanto chegamos mesmo a
\det(\lambda I - A)=(\lambda+3)(\lambda-7)(\lambda-1).]

Passo 4

Agora vou multiplicar os fatores para obter a forma polinomial expandida, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora:
Primeiro multiplico (\lambda-7)(\lambda-1):
(\lambda-7)(\lambda-1)=\lambda^2-8\lambda+7.
Agora multiplico esse resultado por (\lambda+3):
(\lambda+3)(\lambda^2-8\lambda+7)=\lambda^3-8\lambda^2+7\lambda+3\lambda^2-24\lambda+21.
Juntando termos semelhantes:
\lambda^3+(-8\lambda^2+3\lambda^2)+ (7\lambda-24\lambda)+21=\lambda^3-5\lambda^2-17\lambda+21.

Passo 5

Conclusão conceitual: a equação característica é obtida igualando a determinante a zero. A forma fatorada deixa claro as raízes (autovalores) e a forma expandida é o polinômio característico em si.

Resposta

(\lambda+3)(\lambda-7)(\lambda-1)=0
\lambda^{3}-5\lambda^{2}-17\lambda+21=0

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