Propriedade usada (explicada de forma simples): se uma matriz é triangular (todos os elementos acima ou todos abaixo da diagonal são zero), então o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Aqui \lambda I - A é triangular inferior (zeros acima da diagonal), logo
\det(\lambda I - A)=(\lambda+3)\,(\lambda-7)\,(\lambda-1).
Para ver isso passo a passo: expandindo a determinante pela primeira linha (que tem zeros nas colunas 2 e 3),
\det(\lambda I - A)=(\lambda+3)\det\begin{pmatrix}\lambda-7 & 0 \\[4pt] -8 & \lambda-1\end{pmatrix}.
\det(\lambda I - A)=(\lambda+3)(\lambda-7)(\lambda-1).]
Passo 4
Agora vou multiplicar os fatores para obter a forma polinomial expandida, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora:
Primeiro multiplico (\lambda-7)(\lambda-1):
Conclusão conceitual: a equação característica é obtida igualando a determinante a zero. A forma fatorada deixa claro as raízes (autovalores) e a forma expandida é o polinômio característico em si.