Determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores coluna de A. A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\\\ 9 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] ; \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar se \mathbf{b} pertence ao espaço coluna da matriz A e (2) caso pertença, escrever \mathbf{b} como combinação linear das colunas de A.\n
As informações fornecidas são:
Esses escalares formam o vetor \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} e a condição acima é exatamente o sistema matricial
A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Portanto, para decidir se \mathbf{b} está no espaço coluna, resolvemos o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Se houver solução, \mathbf{b} está no espaço coluna e os componentes da solução são os coeficientes da combinação linear. Para resolver o sistema vou usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas do sistema aumentado), que preservam o conjunto de soluções.]
Interpretação e verificação: como o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem solução \mathbf{x}=(1,-3,1)^T, concluímos que \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A. A combinação linear correspondente é