Determine se \mathbf{b} está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b como combinação linear dos vetores coluna de A.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\\\ 9 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] ; \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar se \mathbf{b} pertence ao espaço coluna da matriz A e (2) caso pertença, escrever \mathbf{b} como combinação linear das colunas de A.\n
As informações fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\[4pt] 9 & 3 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}5 \\[4pt] 1 \\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Vou usar as colunas de A explicitamente; chamo-as de
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]9\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática): dizer que \mathbf{b} está no espaço coluna de A significa que existem escalares x_1,x_2,x_3 tais que
\mathbf{b}=x_1\mathbf{c}_1+x_2\mathbf{c}_2+x_3\mathbf{c}_3.
Esses escalares formam o vetor \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} e a condição acima é exatamente o sistema matricial
A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Portanto, para decidir se \mathbf{b} está no espaço coluna, resolvemos o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Se houver solução, \mathbf{b} está no espaço coluna e os componentes da solução são os coeficientes da combinação linear. Para resolver o sistema vou usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas do sistema aumentado), que preservam o conjunto de soluções.]

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}]:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 9 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right].
Agora aplico operações elementares para escalonar.
  1. Zeramos abaixo do pivô em R_1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 9R_1:
R_2: \\ (9,\,3,\,1\,|\,1) -9(1,\,-1,\,1\,|\,5) = (0,\,12,\,-8\,|\, -44).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3: \\ (1,\,1,\,1\,|-1) -(1,\,-1,\,1\,|\,5) = (0,\,2,\,0\,|\,-6).
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 12 & -8 & -44\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -6 \end{array}\right].
  1. Para simplificar, troco R_2 e R_3 (isso só reordena linhas, não mexe nas soluções):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 12 & -8 & -44 \end{array}\right].
  1. Zeramos o elemento abaixo do novo pivô em R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 6R_2 porque 12 - 6\cdot 2 = 0.
R_3: \\ (0,\,12,\,-8\,|\,-44) -6(0,\,2,\,0\,|\,-6) = (0,\,0,\,-8\,|\,-8).
Agora a matriz escalonada é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -6\\[4pt] 0 & 0 & -8 & -8 \end{array}\right].]

Passo 4

Passo de retro-substituição (resolver as equações escalonadas). As linhas correspondem às equações:
\begin{cases} \text{(linha 3)}:\quad -8x_3 = -8,\\[4pt] \text{(linha 2)}:\quad 2x_2 = -6,\\[4pt] \text{(linha 1)}:\quad x_1 - x_2 + x_3 = 5. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
  • Da linha 3: \; -8x_3 = -8 \Rightarrow x_3 = 1.
  • Da linha 2: \; 2x_2 = -6 \Rightarrow x_2 = -3.
  • Da linha 1: substituindo x_2 e x_3:
x_1 - (-3) + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad x_1 +3 +1 =5 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Portanto a solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja, x_1=1,\\ x_2=-3,\\ x_3=1.]

Passo 5

Interpretação e verificação: como o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} tem solução \mathbf{x}=(1,-3,1)^T, concluímos que \mathbf{b} pertence ao espaço coluna de A. A combinação linear correspondente é
\mathbf{b}=1\mathbf{c}_1 + (-3)\mathbf{c}_2 + 1\mathbf{c}_3.
Verificação rápida calculando a combinação:
1\mathbf{c}_1 -3\mathbf{c}_2 +1\mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]9\\[4pt]1\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3+1\\[4pt]9-9+1\\[4pt]1-3+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\mathbf{b},
confirmando que a expressão está correta.]

Resposta

Sim.
\displaystyle \mathbf{b}=1\mathbf{c}_1-3\mathbf{c}_2+1\mathbf{c}_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]9\\[4pt]1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\]

Exercícios relacionados