Encontre a equação cartesiana para o círculo osculador da curva
r(t) = (2 ln t) i - (t + 1/t) j, e^(-2) <= t <= e^(2)
no ponto (0, -2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação cartesiana do círculo osculador para a curva dada pela função vetorial , no ponto . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, como derivadas e curvatura. Vamos precisar achar o parâmetro correspondente ao ponto dado, calcular as derivadas primeira e segunda para achar a curvatura, determinar o raio do círculo osculador e, por fim, encontrar a equação do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto .
A componente da curva é . Queremos que :

Passo 3

Agora, vamos verificar a componente para confirmar:
Então, realmente corresponde ao ponto .

Passo 4

Vamos encontrar a primeira derivada :
Avaliado em :

Passo 5

Agora, a segunda derivada :
Avaliado em :

Passo 6

A curvatura para uma curva paramétrica é dada por:
Calculando o produto vetorial no plano (considerando apenas as componentes e ):
O valor absoluto é .
O módulo de é:
Então:

Passo 7

O raio do círculo osculador é o inverso da curvatura:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a direção do vetor normal. O vetor normal pode ser obtido a partir da segunda derivada:
Em :
Então:

Passo 9

A posição do centro do círculo osculador é dada por:
Onde e :

Passo 10

Finalmente, a equação cartesiana do círculo com centro em e raio é:
Substituindo , e :

Resposta

A equação cartesiana do círculo osculador é:

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