integral(x^3+1)^1 / 3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Primeiro, escolhemos uma parte da expressão para chamar de . Aqui, uma boa escolha é , porque a derivada disso vai aparecer na nossa integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx :
x^2 dx = du3
Isso significa que:
Ou, rearranjando:
Essa substituição vai nos ajudar a reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Vamos substituir integral (x^3 + 1)^1/3 cdot x^2 dx = integral u^1/3 cdot du3 e 13 integral u^1/3 du na integral original:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^1/3 du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C em relação a . Lembrando que a integral de é mais a constante de integração :

Passo 6

Voltando à nossa expressão com a constante 13 cdot 34 u^4/3 + C = 14 u^4/3 + C :
14 (x^3 + 1)^4/3 + C
Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral de 14 (x^3 + 1)^4/3 + C em relação a é:

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