Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é:
y=c_{1} e^{-2 t}+c_{2} t e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial cuja solução geral seja
y = c_{1}e^{-2t} + c_{2}\,t\,e^{-2t}.
Isso indica que estamos diante de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Na teoria de equações lineares com coeficientes constantes, se o polinômio característico tem uma raiz r de multiplicidade 2, a solução geral é
y = \bigl(A + B\,t\bigr)e^{rt}.
Comparando com
y = c_{1}e^{-2t} + c_{2}\,t\,e^{-2t},
vemos que r = -2 é uma raiz duplamente repetida. Logo, o polinômio característico é
(r + 2)^2 = 0
ou seja
r^2 + 4r + 4 = 0.

Passo 3

Para associar esse polinômio à equação diferencial, basta trocar r^2\mapsto D^2, r\mapsto D e a constante livre por 1, obtendo
D^2 + 4D + 4 = 0,
ou em termos de derivadas:
y'' + 4y' + 4y = 0.

Resposta

y'' + 4y' + 4y = 0.

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