Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a equação da elipse na forma canônica, descobrir o centro, os vértices, os focos e fazer um esboço do gráfico. Pra isso, vamos precisar lembrar das propriedades das elipses e como transformar a equação geral dela para a forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação dada na forma padrão da elipse. A equação que temos é:
Vamos isolar o termo constante:
Agora, vamos dividir ambos os lados por 16 para deixar o lado direito igual a 1:
Simplificando as frações:
Passo 3
A forma padrão da equação da elipse é:
Onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação
, vemos que:
-
-
-
então -
então
Passo 4
O centro da elipse é
, que encontramos ser
. Então, o centro está na origem.
Passo 5
Agora, vamos identificar os semi-eixos:
- Semi-eixo maior (
) = 4 - Semi-eixo menor (
) = 2
Como
, o eixo maior está alinhado com o eixo
.
Passo 6
Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como o eixo maior está no eixo
:
- Vértice superior:
= - Vértice inferior:
=
Passo 7
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Os focos ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (eixo
):
- Foco superior:
= - Foco inferior:
=
Resposta
A equação da elipse na forma canônica é:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e
O gráfico da elipse tem o eixo maior ao longo do eixo
, com os vértices e focos conforme acima.