Seja
definida por
Verifique se
é uma forma bilinear.
Passo 1
Vamos lá! A gente vai verificar se a função
definida por
é uma forma bilinear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre formas bilineares. Para resolver isso, a gente precisa checar se
satisfaz as propriedades de linearidade em cada uma das suas duas entradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear
deve ser linear em cada uma das variáveis quando a outra é mantida fixa. Ou seja:
- Para todo
e ,
- Para todo
e ,
Passo 3
Vamos verificar a linearidade na primeira variável. Seja
e
. Vamos pegar dois vetores
e
e constantes
.
Calculando
:
Substituindo na definição de
:
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com
e
:
Isso é igual a:
Então,
é linear na primeira variável.
Passo 4
Agora, vamos verificar a linearidade na segunda variável. Seja
e
,
com constantes
.
Calculando
:
Substituindo na definição de
:
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com
e
:
Isso é igual a:
Portanto,
também é linear na segunda variável.
Resposta
Como
é linear em cada uma das suas variáveis, concluímos que
é uma forma bilinear.