Seja A: R^3 times R^3 R definida por
A((x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime))=x y^prime+x z^prime-z y^prime+z z^prime
Verifique se A é uma forma bilinear.

Passo 1

Vamos lá! A gente vai verificar se a função A((x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime)) = x y^prime + x z^prime - z y^prime + z z^prime definida por
é uma forma bilinear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre formas bilineares. Para resolver isso, a gente precisa checar se satisfaz as propriedades de linearidade em cada uma das suas duas entradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma bilinear. Uma forma bilinear A(au + bv, w) = a A(u, w) + b A(v, w) deve ser linear em cada uma das variáveis quando a outra é mantida fixa. Ou seja:
  1. Para todo A(v, aw + bu) = a A(v, w) + b A(v, u) e ,
  1. Para todo e ,

Passo 3

Vamos verificar a linearidade na primeira variável. Seja A(au1 + bu2, u') = A((a x1 + b x2, a y1 + b y2, a z1 + b z2), (x', y', z')) e = (a x1 + b x2) y' + (a x1 + b x2) z' - (a z1 + b z2) y' + (a z1 + b z2) z' . Vamos pegar dois vetores = a x1 y' + b x2 y' + a x1 z' + b x2 z' - a z1 y' - b z2 y' + a z1 z' + b z2 z' e = a (x1 y' + x1 z' - z1 y' + z1 z') + b (x2 y' + x2 z' - z2 y' + z2 z') e constantes a A(u1, u') + b A(u2, u') .
Calculando :
Substituindo na definição de :
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com e :
Isso é igual a:
Então, é linear na primeira variável.

Passo 4

Agora, vamos verificar a linearidade na segunda variável. Seja A((x, y, z), (a x'1 + b x'2, a y'1 + b y'2, a z'1 + b z'2)) e = x (a y'1 + b y'2) + x (a z'1 + b z'2) - z (a y'1 + b y'2) + z (a z'1 + b z'2) , = a x y'1 + b x y'2 + a x z'1 + b x z'2 - a z y'1 - b z y'2 + a z z'1 + b z z'2 com constantes = a (x y'1 + x z'1 - z y'1 + z z'1) + b (x y'2 + x z'2 - z y'2 + z z'2) .
Calculando a A(v, w1) + b A(v, w2) :
Substituindo na definição de :
Distribuindo os termos:
Agrupando os termos com e :
Isso é igual a:
Portanto, também é linear na segunda variável.

Resposta

Como é linear em cada uma das suas variáveis, concluímos que é uma forma bilinear.

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