Encontre a equação paramétrica para a reta tangente à curva dada em dado valor paramétrico
.
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica
no ponto em que
. Para isso, usamos a teoria de curvas paramétricas: a reta tangente em
é dada por
, onde
é a derivada de
.
Passo 2
Vamos calcular o ponto de tangência
. Substituindo
e
obtemos:
Agora derivamos
$$\vec{r},
Passo 3
(t)=(a\cos t,,-a\sin t,,b).
\vec{r},
Passo 4
(2\pi)=(a,,0,,b).
\vec{L}(s)=\vec{r}(2\pi)+s,\vec{r}’(2\pi)=(0,,a,,2\pi b)+s,(a,,0,,b).$$
Finalmente, em forma paramétrica de coordenadas, temos
$$
x(s)=a s,\quad y(s)=a,\quad z(s)=2\pi b + b s.$$
Resposta
A equação paramétrica da reta tangente é
, ou em componentes:
,
,
.