Encontre a equação paramétrica para a reta tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t0.
r(t)=(a sen t, a cos t, b t), t0=2 pi

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica r(t)=(asent,,acos t,,b t) no ponto em que t0=2pi. Para isso, usamos a teoria de curvas paramétricas: a reta tangente em t0 é dada por L(s)=r(t0)+s,r,'(t0), onde r'(t) é a derivada de r(t).

Passo 2

Vamos calcular o ponto de tangência r(2pi). Substituindo sin(2pi)=0 e cos(2pi)=1 obtemos:
r(2pi)=(asen(2pi),,acos(2pi),,bcdot2pi)=(0,,a,,2pi b)
Agora derivamos r(t) componente a componente. Como ddt[asent]=acos t, ddt[acos t]=-asin t e ddt[b t]=b, temos:
$$\vec{r},

Passo 3

(t)=(a\cos t,,-a\sin t,,b). Avaliando em $t=2pi$ (<=mbrando $cos(2pi)=1$ e $sin(2pi)=0$) fica: \vec{r},

Passo 4

(2\pi)=(a,,0,,b). Com o ponto e o vetor direção em mãos, escrevemos a equação vetorial da reta tan>=nte: çããçã\vec{L}(s)=\vec{r}(2\pi)+s,\vec{r}’(2\pi)=(0,,a,,2\pi b)+s,(a,,0,,b).$$
Finalmente, em forma paramétrica de coordenadas, temos
$$
x(s)=a s,\quad y(s)=a,\quad z(s)=2\pi b + b s.$$

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente é L(s)=(0,,a,,2pi b)+s,(a,,0,,b), ou em componentes: x(s)=a s, y(s)=a, z(s)=2pi b + b s.

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