Encontre a equação do plano tangente à superficie f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2=0 no ponto (1,1, raiz2). Mostre que a superfície e o plano tem uma reta em comum. Qual o ângulo entre esta reta e o vetor nabla f(1,1, raiz2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 $ e o ponto específico $ (1, 1, \sqrt{2}) $. Precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Além disso, temos que mostrar que a superfície e o plano tangente têm uma reta em comum e descobrir o ângulo entre essa reta e o vetor gradiente $ \nabla f(1,1, \sqrt{2}) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e geometria dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície num ponto pode ser encontrado usando o vetor gradiente da função que define a superfície. O vetor gradiente $ \nabla f $ aponta na direção normal ao plano tangente. Então, vamos calcular o gradiente de $ f(x, y, z) $.
A função é $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2} $.
As derivadas parciais são:
nabla f
Portanto, o gradiente é:
f(x, y, z)

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ (1, 1, \sqrt{2}) $:
(1, 1, raiz2)
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação geral de um plano é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde $ (a, b, c) $ é o vetor normal e $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo o vetor gradiente e o ponto dado:
(a, b, c)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
2x - 2 + 2y - 2 - 2raiz2z + 2 cdot 2 = 0
2x + 2y - 2raiz2z - 4 + 4 = 0
2x + 2y - 2raiz2z = 0
Podemos dividir todos os termos por 2:
x + y - raiz2z = 0

Passo 6

Então, a equação do plano tangente é:
x + y - raiz2z = 0

Passo 7

Agora, vamos mostrar que a superfície $ x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 $ e o plano $ x + y - \sqrt{2}z = 0 $ têm uma reta em comum. Para isso, vamos resolver o sistema dessas duas equações.
Temos:
x^2 + y^2 - z^2 = 0

Passo 8

Podemos resolver o sistema expressando uma variável em termos das outras. Vamos resolver a segunda equação para $ x $:
x
Substituindo na primeira equação:
x = raiz2z - y
Expandindo:
(raiz2z - y)^2 + y^2 - z^2 = 0
2z^2 - 2raiz2zy + y^2 + y^2 - z^2 = 0

Passo 9

Essa equação pode ser fatorada ou resolvida para achar uma relação entre $ y $ e $ z $. Vamos rearranjar:
y
Dividindo tudo por $ y^{2} $ (assumindo $ y \neq 0 $):
z
Chamando $ \frac{z}{y} = k $:
z^2 - 2raiz2zy + 2y^2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
y^2
Então, $ \frac{z}{y} = \sqrt{2} $, ou seja, $ z = \sqrt{2}y $.

Passo 10

Voltando à equação que encontramos para $ x $:
x
Então, temos:
x = raiz2z - y = raiz2(raiz2y) - y = 2y - y = y
Isso define uma reta no espaço parametrizada por $ y $. Podemos escrever a equação paramétrica da reta usando um parâmetro $ t $:
x = y e z = raiz2y

Passo 11

Portanto, a superfície e o plano tangente têm em comum a reta dada por:
x = t y = t z = raiz2t
Essa é a reta de interseção.

Passo 12

Agora, vamos encontrar o ângulo entre essa reta e o vetor gradiente $ \nabla f(1,1,\sqrt{2}) = (2, 2, -2\sqrt{2}) $.
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta. A equação paramétrica $ x = t, y = t, z = \sqrt{2}t $ tem vetor diretor $ \vec{d} = (1, 1, \sqrt{2}) $.
O ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ é dado por:
nabla f(1,1,raiz2) = (2, 2, -2raiz2)

Passo 13

Calculando o produto interno:
d cdot nabla f = (1)(2) + (1)(2) + (raiz2)(-2raiz2) = 2 + 2 - 4 = 0

Passo 14

Como o produto interno é zero, isso significa que $ \cos \theta = 0 $, então $ \theta = 90^\circ $.

Resposta

A equação do plano tangente é $ x + y - \sqrt{2}z = 0 $. A superfície e o plano tangente têm em comum a reta $ x = y $ e $ z = \sqrt{2}y $. O ângulo entre essa reta e o vetor gradiente $ \nabla f(1,1,\sqrt{2}) $ é de $ 90^\circ $.

Exercícios relacionados