Encontre a equação do plano tangente à superficie
no ponto
. Mostre que a superfície e o plano tem uma reta em comum. Qual o ângulo entre esta reta e o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 $ e o ponto específico $ (1, 1, \sqrt{2}) $. Precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície nesse ponto. Além disso, temos que mostrar que a superfície e o plano tangente têm uma reta em comum e descobrir o ângulo entre essa reta e o vetor gradiente $ \nabla f(1,1, \sqrt{2}) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e geometria dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície num ponto pode ser encontrado usando o vetor gradiente da função que define a superfície. O vetor gradiente $ \nabla f $ aponta na direção normal ao plano tangente. Então, vamos calcular o gradiente de $ f(x, y, z) $.
A função é $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z^{2} $.
As derivadas parciais são:
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ (1, 1, \sqrt{2}) $:
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente.
Passo 4
A equação geral de um plano é:
onde $ (a, b, c) $ é o vetor normal e $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo o vetor gradiente e o ponto dado:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 2:
Passo 6
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 7
Agora, vamos mostrar que a superfície $ x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 $ e o plano $ x + y - \sqrt{2}z = 0 $ têm uma reta em comum. Para isso, vamos resolver o sistema dessas duas equações.
Temos:
Passo 8
Podemos resolver o sistema expressando uma variável em termos das outras. Vamos resolver a segunda equação para $ x $:
Substituindo na primeira equação:
Expandindo:
Passo 9
Essa equação pode ser fatorada ou resolvida para achar uma relação entre $ y $ e $ z $. Vamos rearranjar:
Dividindo tudo por $ y^{2} $ (assumindo $ y \neq 0 $):
Chamando $ \frac{z}{y} = k $:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, $ \frac{z}{y} = \sqrt{2} $, ou seja, $ z = \sqrt{2}y $.
Passo 10
Voltando à equação que encontramos para $ x $:
Então, temos:
Isso define uma reta no espaço parametrizada por $ y $. Podemos escrever a equação paramétrica da reta usando um parâmetro $ t $:
Passo 11
Portanto, a superfície e o plano tangente têm em comum a reta dada por:
Essa é a reta de interseção.
Passo 12
Agora, vamos encontrar o ângulo entre essa reta e o vetor gradiente $ \nabla f(1,1,\sqrt{2}) = (2, 2, -2\sqrt{2}) $.
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta. A equação paramétrica $ x = t, y = t, z = \sqrt{2}t $ tem vetor diretor $ \vec{d} = (1, 1, \sqrt{2}) $.
O ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \vec{a} $ e $ \vec{b} $ é dado por:
Passo 13
Calculando o produto interno:
Passo 14
Como o produto interno é zero, isso significa que $ \cos \theta = 0 $, então $ \theta = 90^\circ $.
Resposta
A equação do plano tangente é $ x + y - \sqrt{2}z = 0 $. A superfície e o plano tangente têm em comum a reta $ x = y $ e $ z = \sqrt{2}y $. O ângulo entre essa reta e o vetor gradiente $ \nabla f(1,1,\sqrt{2}) $ é de $ 90^\circ $.