O ângulo entre duas superfícies num ponto comum é o menor ângulo positivo entre as as normais a essas superficies nesse ponto. Determine o ângulo entre os gráficos das funções
e
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o ângulo entre os gráficos das funções $ f(x, y) = e^{xy} - 1 $ e $ g(x, y) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre geometria de superfícies e cálculo vetorial, especificamente sobre como encontrar o ângulo entre duas superfícies usando as normais a elas nesse ponto. Para isso, precisamos entender o que são normais às superfícies e como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as normais às superfícies no ponto dado. As normais podem ser encontradas usando o gradiente das funções que definem as superfícies. Então, vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $.
Para a função $ f(x, y) = e^{xy} - 1 $, o gradiente é:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Passo 3
Agora, para a função $ g(x, y) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, vamos calcular o gradiente:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Passo 4
Agora que temos os vetores normais às duas superfícies no ponto dado:
Para encontrar o ângulo entre as superfícies, precisamos encontrar o ângulo entre esses dois vetores normais. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ é:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{n}_f \cdot \mathbf{n}_g $:
Agora, calculamos as normas (módulos) dos vetores:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
Sabemos que $ \cos^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ $.
Resposta
O ângulo entre os gráficos das funções $ f(x, y) = e^{xy} - 1 $ e $ g(x, y) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto
é de
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