O ângulo entre duas superfícies num ponto comum é o menor ângulo positivo entre as as normais a essas superficies nesse ponto. Determine o ângulo entre os gráficos das funções f(x, y)=e^x y-1 e g(x, y)=ln raizx^2+y^2 em (0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o ângulo entre os gráficos das funções $ f(x, y) = e^{xy} - 1 $ e $ g(x, y) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto f(x, y) = e^xy - 1 . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre geometria de superfícies e cálculo vetorial, especificamente sobre como encontrar o ângulo entre duas superfícies usando as normais a elas nesse ponto. Para isso, precisamos entender o que são normais às superfícies e como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as normais às superfícies no ponto dado. As normais podem ser encontradas usando o gradiente das funções que definem as superfícies. Então, vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $.
Para a função $ f(x, y) = e^{xy} - 1 $, o gradiente é:
f
Calculando as derivadas parciais:
g
No ponto f(x, y) = e^xy - 1 :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, -1 )

Passo 3

Agora, para a função $ g(x, y) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, vamos calcular o gradiente:
g(x, y) = ln raizx^2 + y^2
Calculando as derivadas parciais:
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, -1 )
No ponto partial gpartial x = xx^2 + y^2, partial gpartial y = yx^2 + y^2 :
(0, 1, 0)

Passo 4

Agora que temos os vetores normais às duas superfícies no ponto dado:
nf = (1, 0, -1), ng = (0, 1, -1)
Para encontrar o ângulo entre as superfícies, precisamos encontrar o ângulo entre esses dois vetores normais. A fórmula para o ângulo $ \theta $ entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ é:
theta

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{n}_f \cdot \mathbf{n}_g $:
nf cdot ng
Agora, calculamos as normas (módulos) dos vetores:
nf cdot ng = (1)(0) + (0)(1) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 1 = 1
|nf| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos theta = 1raiz2 cdot raiz2 = 12
Para encontrar o ângulo $ \theta $, tiramos o arco cosseno:
theta
Sabemos que $ \cos^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ $.

Resposta

O ângulo entre os gráficos das funções $ f(x, y) = e^{xy} - 1 $ e $ g(x, y) = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto f(x, y) = e^xy - 1 é de g(x, y) = ln raizx^2 + y^2 .

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