Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por 
  no ponto 
 , em que 
  e 
 . (Comece encontrando 
 .)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por 
  no ponto 
 , onde 
  e 
 . Para isso, vamos precisar calcular 
  utilizando a função dada e depois encontrar as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
  no ponto 
 .
Passo 2
Vamos começar calculando 
 . Usamos a função 
  e substituímos 
  e 
 :
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de 
 :
Então, 
 .
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e 
 . As derivadas parciais nos dizem como a função 
  muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial de 
  em relação a 
  é:
E a derivada parcial de 
  em relação a 
  é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto 
 :
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Distribuindo os termos:
Reagrupando os termos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto 
  é: