Calcule 
  e 
  de 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem, ou seja, 
  e 
 , da função 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicá-las duas vezes: primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 . Para isso, tratamos 
  como uma constante durante a diferenciação.
A derivada de 
  em relação a 
  é 
  (usando a regra da cadeia).
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
  para encontrar 
 .
A derivada de 
  em relação a 
  é 
  (usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , ou seja, 
 .
A derivada de 
  em relação a 
  é 
  (usando a regra da cadeia).
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
  para encontrar 
 .
A derivada de 
  em relação a 
  é 
  (usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de  em relação a 
  é 
 .
A derivada de
A derivada de
Então,
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais e valem: