) Encontre a equação da reta tangente à curva dada parametricamente por x=\frac{2}{t} e e y=3 t^{2}-1 no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica definida por x=\frac{2}{t} e y=3t^{2}-1 e pede a equação da reta tangente no ponto (2,2). Para resolver, vamos (i) encontrar o valor de t que gera esse ponto, (ii) calcular a derivada \frac{dy}{dx} usando \frac{dy}{dx}=(dy/dt)/(dx/dt) e (iii) usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Encontrar t tal que (x(t),y(t))=(2,2). Da equação x=\frac{2}{t} igualamos a 2:
\frac{2}{t}=2
Logo,
t=1.
Verificando em y:
y(1)=3\cdot1^{2}-1=2,
o que confirma t=1.

Passo 3

Calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} em t=1:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{2}{t}\Bigr)=-2t^{-2}=-\frac{2}{t^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}\Big|_{t=1}=-2,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-1\bigr)=6t \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=1}=6.
Portanto, a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{6}{-2} =-3.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação da reta no ponto (x_{0},y_{0})=(2,2) com inclinação m=-3:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}) \quad\Longrightarrow\quad y-2=-3(x-2).
Simplificando:
y-2=-3x+6 \quad\Longrightarrow\quad y=-3x+8.

Resposta

A equação da reta tangente é y=-3x+8.

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