) A parametrização racional da circunferência de raio unitário, centrada na origem é dada por:
x(t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \quad \text { e } \quad y(t)=\frac{2 t}{1+t^{2}}
exceto para o ponto (-1,0). Determine, usando as equações paramétricas acima, a equação da reta tangente à circunferência no ponto \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a parametrização racional da circunferência de raio unitário centrada na origem,
x(t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\quad y(t)=\frac{2t}{1+t^{2}},
e pede a reta tangente no ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac12\bigr). Para isso precisamos (i) achar o valor de t que gera esse ponto e (ii) calcular a derivada \tfrac{dy}{dx}=\tfrac{y'(t)}{x'(t)} para depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Encontrar t_{0} tal que
y(t_{0})=\frac{2t_{0}}{1+t_{0}^{2}}=\frac12.
Multiplicando em cruz:
2t_{0}= \frac{1+t_{0}^{2}}{2} \;\Longrightarrow\; 4t_{0}=1+t_{0}^{2} \;\Longrightarrow\; t_{0}^{2}-4t_{0}+1=0.
As raízes são t=2\pm\sqrt{3}. Como queremos x(t_{0})>0 (isto é \tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866), escolhemos
t_{0}=2-\sqrt{3}.

Passo 3

Calcular as derivadas paramétricas:
x'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\Bigr) =\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}},
y'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{2t}{1+t^{2}}\Bigr) =\frac{2-2t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}.
Logo
\frac{dy}{dx} =\frac{y'(t)}{x'(t)} =\frac{2-2t^{2}}{-4t} =-\frac{1-t^{2}}{2t}.

Passo 4

Avaliar \tfrac{dy}{dx} em t=t_{0}=2-\sqrt{3}. Temos
1-t_{0}^{2} =1-\bigl(2-\sqrt{3}\bigr)^{2} =1-\bigl(7-4\sqrt{3}\bigr) =-6+4\sqrt{3},
então
m =-\frac{1-t_{0}^{2}}{2t_{0}} =-\frac{-6+4\sqrt{3}}{2(2-\sqrt{3})} =\frac{6-4\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} =-\sqrt{3}.
Logo a inclinação da reta tangente é m=-\sqrt{3}.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac12\bigr) com coeficiente angular m é
y-\frac12 =-\sqrt{3}\,\Bigl(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
Desenvolvendo em forma explícita:
y=-\sqrt{3}\,x+\frac{3}{2}+\frac12 =-\sqrt{3}\,x+2.

Resposta

A reta tangente é
y=-\sqrt{3}\,x+2.

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