Encontre a equação da reta
tangente ao gráfico de y = x^(5 / 2) - raiz(x), no ponto de abscissa x = 64;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde a abscissa (o valor de ) é 64. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Isso vai nos dar o ponto exato no gráfico onde a reta tangente vai tocar.

Passo 3

Calculando : Primeiramente, . Depois, elevamos 8 à quinta potência:
Agora, calculando .
Então,
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é . Então:

Passo 5

Vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 6

Calculando : Primeiro, , então .
Calculando .
Substituindo:
Mas para simplificar, vamos manter como fração:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 8

Podemos deixar a equação nessa forma ou simplificar para a forma geral. Vamos simplificar:
Calculando:
Então:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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