Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
a) f(x) = x^2;

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: precisamos encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, devemos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de derivada, que envolve limites e álgebra básica.

Passo 2

A definição de derivada de uma função é dada por:
Vamos aplicar essa definição à função .

Passo 3

Primeiro, substituímos e na fórmula:

Passo 4

Agora, expandimos :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 5

Simplificamos a expressão subtraindo :

Passo 6

Fatoramos no numerador:
Cancelamos no numerador e denominador:

Passo 7

Finalmente, aplicamos o limite quando tende a 0:

Passo 8

Identificamos os domínios:
  • A função original está definida para todos os números reais, ou seja, .
  • A derivada também está definida para todos os números reais, .

Resposta

A derivada da função é . Os domínios da função e da derivada são todos os números reais.

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