Encontre a equação vetorial da reta espacial que passa pelos pontos P_{0} e P_{1} abaixo.
P_{0}=(2,1,4), P_{1}=(-2,5,5)

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espaço, \displaystyle P_{0}=(2,1,4) e \displaystyle P_{1}=(-2,5,5),
e pede a equação vetorial da reta que passa por eles.
O conteúdo aqui é reta no espaço: basta escolher um ponto de apoio e um vetor direção.

Passo 2

Vamos achar o vetor direção \vec d subtraindo as coordenadas de P_{0} de P_{1}:
\vec d \;=\; P_{1}-P_{0} \;=\;(-2-2,\;5-1,\;5-4) \;=\;(-4,\,4,\,1).

Passo 3

A forma geral da equação vetorial de uma reta que passa por \vec r_{0} e tem direção \vec d é
\vec r(t)=\vec r_{0}+t\,\vec d,
onde t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Escolhendo \vec r_{0}=P_{0}=(2,1,4) e \vec d=(-4,4,1), a equação fica
\vec r(t) \;=\;(2,1,4)+t\,(-4,4,1).

Passo 5

Se quisermos escrever em coordenadas paramétricas, basta desmembrar:
x(t)=2-4t,\quad y(t)=1+4t,\quad z(t)=4+t.

Resposta

\displaystyle \vec r(t)=(2,1,4)+t\,(-4,4,1), com t\in\mathbb{R}.

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