Encontre a equação vetorial da reta espacial que passa pelos pontos P_{0} e P_{1} abaixo.
P_{0}=(3,1,4), P_{1}=(-7,3,5)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta em \mathbb{R}^3 que passa pelos pontos
P_{0}=(3,1,4),\quad P_{1}=(-7,3,5).
Para isso, usamos o modelo
\vec r(t)=\vec r_{0}+t\,\vec v,
onde \vec r_{0} é um ponto da reta e \vec v é um vetor diretor.

Passo 2

Vamos obter o vetor diretor \vec v subtraindo as coordenadas de P_{0} das de P_{1}:
\vec v = P_{1}-P_{0} =(-7-3,\;3-1,\;5-4) =(-10,\;2,\;1).
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Escolhendo \vec r_{0}=P_{0}=(3,1,4), a equação vetorial fica
\vec r(t)=\langle 3,1,4\rangle + t\,\langle -10,2,1\rangle.
Em coordenadas paramétricas, isso equivale a
\begin{cases} x=3-10t,\\\ y=1+2t,\\\ z=4+t. \end{cases}

Resposta

\boxed{\vec r(t)=\langle 3,1,4\rangle + t\,\langle -10,2,1\rangle.}

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