Se \vec{a}=(-3,5), \vec{b}=(2,-3), encontre o comprimento do vetor \vec{c} para:
\vec{c}=[(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-2 \vec{b})] \overrightarrow{b^{\perp}}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec a =(-3,5) e \vec b =(2,-3),
e pede o comprimento de
\vec c = [(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-2\vec b)]\,\overrightarrow{b^\perp}.
Vamos usar soma e escalar de vetores, produto escalar, magnitude de vetores e a propriedade de que girar \vec b em 90\circ sem escalonar não altera o seu comprimento.

Passo 2

Calculamos primeiro a soma
\vec a + \vec b = (-3,5) + (2,-3) = (-1,2).

Passo 3

Em seguida calculamos
\vec a - 2\vec b = (-3,5) - 2\,(2,-3) = (-3-4,\;5+6) = (-7,11).

Passo 4

Agora o produto escalar
(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-2\vec b) = (-1,2)\cdot(-7,11) = (-1)(-7) + 2\cdot 11 = 7 + 22 = 29.

Passo 5

Logo
\vec c = 29\,\overrightarrow{b^\perp}.
Para achar \|\vec c\| precisamos de \|\overrightarrow{b^\perp}\|. Como \overrightarrow{b^\perp} é só \vec b girado em 90\circ sem mudança de escala, vale
\|\overrightarrow{b^\perp}\| = \|\vec b\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 6

Portanto
\|\vec c\| = |29|\;\|\overrightarrow{b^\perp}\| = 29\,\sqrt{13}.

Resposta

O comprimento de \vec c é 29\sqrt{13}.

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