Encontre equações paramétricas da reta tangente a C em P, nos seguintes casos:
(a) C:\left\{\begin{array}{l}x=2 t^{2}-1 \\\ y=-5 t^{2}+3, \quad P=(1,-2,10) \\\ z=8 t+2\end{array}\right.
(b) C:\left\{\begin{array}{l}x=e^{t} \\\ y=t e^{t}, \quad P=(1,0,4) \\\ z=t^{2}+4\end{array}\right.
(c) C: \mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+t \sin t \mathbf{j}+t \cos t \mathbf{k}, P=(1,0,0)
(d) C: \mathbf{r}(t)=3 t^{2} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}+6 t \mathbf{k}, P=(3,1,6)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P, nos itens (a), (b), (c) e (d).
Informações dadas, listadas por item:
(a) C: \displaystyle x=2 t^{2}-1,\; y=-5 t^{2}+3,\; z=8 t+2. Ponto P=\bigl(1,-2,10\bigr).
(b) C: \displaystyle x=e^{t},\; y=t e^{t},\; z=t^{2}+4. Ponto P=\bigl(1,0,4\bigr).
(c) C: \displaystyle \mathbf{r}(t)=e^{t}\mathbf{i}+t\sin t\mathbf{j}+t\cos t\mathbf{k}. Ponto P=\bigl(1,0,0\bigr).
(d) C: \displaystyle \mathbf{r}(t)=3 t^{2}\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{j}+6 t\mathbf{k}. Ponto P=\bigl(3,1,6\bigr).
Observação importante: em cada caso precisamos primeiro achar o(s) valor(es) de t (denote por t_0) tal que a posição da curva em t_0 seja exatamente o ponto P. Só depois calculamos a reta tangente usando a derivada em t_0.

Passo 2

Método geral (ferramenta que vamos usar em todos os itens) — explicação didática e fórmula:
  1. Representação: uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3\) pode ser escrita como \[\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr).
Aqui x(t),y(t),z(t) são funções reais do parâmetro t.
  1. Tangente e vetor direção: o vetor tangente à curva no instante t é a derivada
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
Intuição: \mathbf{r}'(t) é a velocidade da partícula que percorre C; aponta na direção da reta tangente.
  1. Reta tangente em P=\mathbf{r}(t_0): a reta que passa por P com direção \mathbf{r}'(t_0) tem forma vetorial
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_0)+s\,\mathbf{r}'(t_0),
onde s é parâmetro da reta. Em coordenadas paramétricas,
\begin{cases} x = x_0 + a s,\\[4pt] y = y_0 + b s,\\[4pt] z = z_0 + c s, \end{cases}
com \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)=P\] e \[\bigl(a,b,c\bigr)=\mathbf{r}'(t_0).
  1. Como achar t_0: resolver o sistema
\begin{cases} x(t)=x_0,\\\ y(t)=y_0,\\\ z(t)=z_0. \end{cases}
Às vezes duas equações já fixam (t_0]; confirme com a terceira. Pode haver mais de uma solução, mas normalmente apenas uma concilia todas as três coordenadas; se houver mais de uma, cada solução gera uma reta tangente diferente.
  1. Regras de derivação que vamos usar (lembrete prático):
  • \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • Produto: \dfrac{d}{dt}\bigl(u(t)v(t)\bigr)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
Agora aplicamos isso item por item.]

Passo 3

(a) Encontrar t_0 tal que \bigl(x(t_0),y(t_0),z(t_0)\bigr)=\bigl(1,-2,10\bigr).
Das fórmulas dadas:
x(t)=2 t^{2}-1,\quad y(t)=-5 t^{2}+3,\quad z(t)=8 t+2.
Resolver x(t)=1:
2 t^{2}-1=1\quad\Rightarrow\quad 2 t^{2}=2\quad\Rightarrow\quad t^{2}=1\quad\Rightarrow\quad t=\pm 1.
Verificar y(t) para t^{2}=1:
y(t)=-5(1)+3=-2,
logo a coordenada y bate para t=\pm1. Agora usar z(t)=10:
8 t+2=10\quad\Rightarrow\quad 8 t=8\quad\Rightarrow\quad t=1.
Conclusão: t_0=1 (apenas t=1 satisfaz as três coordenadas simultaneamente).

Passo 4

(a) Calcular \mathbf{r}'(t) e avaliar em t_0=1.
Componentes:
x'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(2 t^{2}-1\bigr)=4 t,
y'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(-5 t^{2}+3\bigr)=-10 t,
z'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(8 t+2\bigr)=8.
Avaliar em t=1:
\mathbf{r}'(1)=(4\cdot 1,\,-10\cdot 1,\,8)=(4,-10,8).

Passo 5

(a) Escrever equações paramétricas da reta tangente usando P=(1,-2,10)\) e direção \((4,-10,8)\). Com parâmetro \(s\): \[\begin{cases} x=1+4 s,\\[4pt] y=-2-10 s,\\[4pt] z=10+8 s. \end{cases}
(Dica: poderíamos factorar 2\] e usar a direção \((2,-5,4), equivalente; não é necessário, ambas representam a mesma reta.)]

Passo 6

(b) Encontrar t_0 tal que \bigl(e^{t_0},\,t_0 e^{t_0},\,t_0^{2}+4\bigr)=\bigl(1,0,4\bigr).
Da primeira coordenada, e^{t_0}=1\Rightarrow t_0=0 (único real que satisfaz). Verificar as outras:
t_0 e^{t_0}=0\cdot 1=0,\quad t_0^{2}+4=0+4=4,
portanto t_0=0 funciona. Concluímos t_0=0.

Passo 7

(b) Calcular \mathbf{r}'(t) e avaliar em t_0=0.
Derivadas:
x'(t)=\dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t},
y'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t e^{t}\bigr)=1\cdot e^{t}+t\cdot e^{t}=e^{t}(1+t)\quad\text{(usei a regra do produto)},
z'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}+4\bigr)=2 t.
Avaliar em t=0:
x'(0)=e^{0}=1,\quad y'(0)=e^{0}(1+0)=1,\quad z'(0)=2\cdot 0=0.
Logo \mathbf{r}'(0)=(1,1,0).

Passo 8

(b) Equações paramétricas da reta tangente com P=(1,0,4)\) e direção \((1,1,0)\): \[\begin{cases} x=1+ s,\\[4pt] y=0+ s,\\[4pt] z=4+ 0\cdot s\;=\;4. \end{cases}
Observação: a reta é paralela ao plano z=4\] (pois \(z é constante).]

Passo 9

(c) Encontrar t_0 para \mathbf{r}(t)=\bigl(e^{t},\,t\sin t,\,t\cos t\bigr) igual a P=(1,0,0).
Da primeira coordenada e^{t}=1\Rightarrow t=0. Verificar:
t\sin t=0\cdot 0=0,\quad t\cos t=0\cdot 1=0,
portanto t_0=0 é a solução correta.

Passo 10

(c) Calcular \mathbf{r}'(t) e avaliar em t_0=0.
Derivadas componente a componente:
  • Para x(t)=e^{t}:
x'(t)=e^{t}.
  • Para y(t)=t\sin t, usar a regra do produto:
y'(t)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t.
  • Para z(t)=t\cos t, também produto:
z'(t)=1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t)=\cos t - t\sin t.
Avaliar em t=0:
x'(0)=e^{0}=1,
y'(0)=\sin 0 + 0\cdot\cos 0=0,
z'(0)=\cos 0 - 0\cdot\sin 0=1.
Logo \mathbf{r}'(0)=(1,0,1).

Passo 11

(c) Equações paramétricas da reta tangente com P=(1,0,0)\) e direção \((1,0,1)\): \[\begin{cases} x=1+ s,\\[4pt] y=0+ 0\cdot s\;=\;0,\\[4pt] z=0+ s. \end{cases}
Isto é, a reta é a linha que sobe em z\] enquanto \(x aumenta na mesma razão e y fica nula.]

Passo 12

(d) Encontrar t_0 tal que \bigl(3 t_0^{2},\,t_0^{3},\,6 t_0\bigr)=\bigl(3,1,6\bigr).
Da primeira coordenada:
3 t_0^{2}=3\quad\Rightarrow\quad t_0^{2}=1\quad\Rightarrow\quad t_0=\pm 1.
Da segunda coordenada t_0^{3}=1\Rightarrow t_0=1. Da terceira 6 t_0=6\Rightarrow t_0=1. Portanto a única compatível com todas é t_0=1.

Passo 13

(d) Calcular \mathbf{r}'(t) e avaliar em t_0=1.
Derivadas:
x'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(3 t^{2}\bigr)=6 t,
y'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3 t^{2},
z'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(6 t\bigr)=6.
Avaliar em t=1:
\mathbf{r}'(1)=(6\cdot 1,\,3\cdot 1^{2},\,6)=(6,3,6).
Podemos simplificar a direção dividindo por 3 e usar (2,1,2), que é paralelo e gera a mesma reta.

Passo 14

(d) Equações paramétricas da reta tangente com P=(3,1,6)\) e direção \((6,3,6)\) (usar parâmetro \(s\)): \[\begin{cases} x=3+6 s,\\[4pt] y=1+3 s,\\[4pt] z=6+6 s. \end{cases}
Ou, simplificando a direção por 3\], equivalente: \[\begin{cases} x=3+2 u,\\[4pt] y=1+ u,\\[4pt] z=6+2 u, \end{cases}\] onde \(u=3 s.]

Resposta

(a) \displaystyle x=1+4 s,\; y=-2-10 s,\; z=10+8 s.
(b) \displaystyle x=1+ s,\; y=0+ s,\; z=4.
(c) \displaystyle x=1+ s,\; y=0,\; z=0+ s.
(d) \displaystyle x=3+6 s,\; y=1+3 s,\; z=6+6 s.

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