Encontre equações paramétricas da reta tangente a C em P, nos seguintes casos:
(a) C:\left\{\begin{array}{l}x=2 t^{2}-1 \\\ y=-5 t^{2}+3, \quad P=(1,-2,10) \\\ z=8 t+2\end{array}\right.
(b) C:\left\{\begin{array}{l}x=e^{t} \\\ y=t e^{t}, \quad P=(1,0,4) \\\ z=t^{2}+4\end{array}\right.
(c) C: \mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+t \sin t \mathbf{j}+t \cos t \mathbf{k}, P=(1,0,0)
(d) C: \mathbf{r}(t)=3 t^{2} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}+6 t \mathbf{k}, P=(3,1,6)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P, nos itens (a), (b), (c) e (d).
Informações dadas, listadas por item:
(a) C:\displaystyle x=2 t^{2}-1,\; y=-5 t^{2}+3,\; z=8 t+2. Ponto P=\bigl(1,-2,10\bigr).
(b) C:\displaystyle x=e^{t},\; y=t e^{t},\; z=t^{2}+4. Ponto P=\bigl(1,0,4\bigr).
(c) C:\displaystyle \mathbf{r}(t)=e^{t}\mathbf{i}+t\sin t\mathbf{j}+t\cos t\mathbf{k}. Ponto P=\bigl(1,0,0\bigr).
(d) C:\displaystyle \mathbf{r}(t)=3 t^{2}\mathbf{i}+t^{3}\mathbf{j}+6 t\mathbf{k}. Ponto P=\bigl(3,1,6\bigr).
Observação importante: em cada caso precisamos primeiro achar o(s) valor(es) de t (denote por t_0) tal que a posição da curva em t_0 seja exatamente o ponto P. Só depois calculamos a reta tangente usando a derivada em t_0.
Passo 2
Método geral (ferramenta que vamos usar em todos os itens) — explicação didática e fórmula:
Representação: uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3\) pode ser escrita como
\[\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr).
Aqui x(t),y(t),z(t) são funções reais do parâmetro t.
Tangente e vetor direção: o vetor tangente à curva no instante t é a derivada
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
Intuição: \mathbf{r}'(t) é a velocidade da partícula que percorre C; aponta na direção da reta tangente.
Reta tangente em P=\mathbf{r}(t_0): a reta que passa por P com direção \mathbf{r}'(t_0) tem forma vetorial
Às vezes duas equações já fixam (t_0]; confirme com a terceira. Pode haver mais de uma solução, mas normalmente apenas uma concilia todas as três coordenadas; se houver mais de uma, cada solução gera uma reta tangente diferente.
Regras de derivação que vamos usar (lembrete prático):
(b) Equações paramétricas da reta tangente com P=(1,0,4)\) e direção \((1,1,0)\):
\[\begin{cases} x=1+ s,\\[4pt] y=0+ s,\\[4pt] z=4+ 0\cdot s\;=\;4. \end{cases}
Observação: a reta é paralela ao plano z=4\] (pois \(z é constante).]
Passo 9
(c) Encontrar t_0 para \mathbf{r}(t)=\bigl(e^{t},\,t\sin t,\,t\cos t\bigr) igual a P=(1,0,0).
Da primeira coordenada e^{t}=1\Rightarrow t=0. Verificar:
t\sin t=0\cdot 0=0,\quad t\cos t=0\cdot 1=0,
portanto t_0=0 é a solução correta.
Passo 10
(c) Calcular \mathbf{r}'(t) e avaliar em t_0=0.
Derivadas componente a componente:
Para x(t)=e^{t}:
x'(t)=e^{t}.
Para y(t)=t\sin t, usar a regra do produto:
y'(t)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t.
Para z(t)=t\cos t, também produto:
z'(t)=1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t)=\cos t - t\sin t.
Avaliar em t=0:
x'(0)=e^{0}=1,
y'(0)=\sin 0 + 0\cdot\cos 0=0,
z'(0)=\cos 0 - 0\cdot\sin 0=1.
Logo \mathbf{r}'(0)=(1,0,1).
Passo 11
(c) Equações paramétricas da reta tangente com P=(1,0,0)\) e direção \((1,0,1)\):
\[\begin{cases} x=1+ s,\\[4pt] y=0+ 0\cdot s\;=\;0,\\[4pt] z=0+ s. \end{cases}
Isto é, a reta é a linha que sobe em z\] enquanto \(x aumenta na mesma razão e y fica nula.]
Passo 12
(d) Encontrar t_0 tal que \bigl(3 t_0^{2},\,t_0^{3},\,6 t_0\bigr)=\bigl(3,1,6\bigr).