Ache a força que atua sobre uma partícula de massa m que se desloca segundo a lei \mathbf{r}(t)=t \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado pede para achar a força que atua sobre uma partícula de massa \;m\; cuja posição em função do tempo é
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}.
Informações relevantes dadas:
  • A massa da partícula é \;m\;.
  • A posição é uma função vetorial com componentes: componente na direção \mathbf{j} é \;t\; e componente na direção \mathbf{k} é \;t^{2}\;.
  • Deve-se encontrar a força que atua sobre a partícula (ou seja, o vetor força como função do tempo).

Passo 2

Lembra do que liga força e movimento: a Segunda Lei de Newton. A fórmula é
\mathbf{F}(t)=m\,\mathbf{a}(t),
onde:
  • \mathbf{F}(t) é o vetor força resultante atuando na partícula em cada instante t,
  • m é a massa da partícula (escala constante),
  • \mathbf{a}(t) é a aceleração da partícula em cada instante t.
    A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
\mathbf{a}(t)=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
Explicação curta: para achar a força precisamos primeiro achar \mathbf{a}(t) (derivando \mathbf{r}(t) duas vezes) e depois multiplicar por m.

Passo 3

Calcule a velocidade \mathbf{v}(t) como primeira derivada de \mathbf{r}(t). Derivamos componente a componente; as bases \mathbf{j} e \mathbf{k} são vetores unitários fixos (constantes), então sua derivada é zero. Assim
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,\mathbf{j}+\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)\,\mathbf{k}.
Agora as derivadas: \frac{d}{dt}(t)=1 e \frac{d}{dt}(t^{2})=2t. Portanto
\mathbf{v}(t)=1\cdot\mathbf{j}+2t\cdot\mathbf{k}=\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calcule a aceleração \mathbf{a}(t) como derivada da velocidade:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}\bigr).
A derivada de \mathbf{j} (vetor constante) é zero e \frac{d}{dt}(2t)=2. Logo
\mathbf{a}(t)=0\cdot\mathbf{j}+2\cdot\mathbf{k}=2\,\mathbf{k}.
Observação didática: a aceleração saiu constante (independe de t), significando que a partícula tem aceleração uniforme na direção \mathbf{k}.

Passo 5

Use a Segunda Lei de Newton \mathbf{F}=m\mathbf{a}. Substituindo \mathbf{a}(t)=2\,\mathbf{k} obtemos
\mathbf{F}(t)=m\bigl(2\,\mathbf{k}\bigr)=2m\,\mathbf{k}.
Interpretação: a força é constante no tempo, dirigida ao longo de \mathbf{k} (e magnitude 2m). Em unidades do SI, se m estiver em quilogramas, a força estará em newtons.

Passo 6

Verificação rápida: como a componente em \mathbf{j} de \mathbf{r}(t) é linear ( t), sua segunda derivada é zero — portanto nenhuma força é necessária na direção \mathbf{j}. A componente em \mathbf{k} é quadrática ( t^{2}), daí segunda derivada constante igual a 2, exigindo força constante 2m na direção \mathbf{k}. Faz sentido físico: movimento uniforme em \mathbf{j} e movimento com aceleração constante em \mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{F}(t)=2m\,\mathbf{k}

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