Ache a força que atua sobre uma partícula de massa
que se desloca segundo a lei
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a força que atua sobre uma partícula de massa
cuja posição em função do tempo é
Informações relevantes dadas:
- A massa da partícula é
. - A posição é uma função vetorial com componentes: componente na direção
é e componente na direção é . - Deve-se encontrar a força que atua sobre a partícula (ou seja, o vetor força como função do tempo).
Passo 2
Lembra do que liga força e movimento: a Segunda Lei de Newton. A fórmula é
onde:
-
é o vetor força resultante atuando na partícula em cada instante , -
é a massa da partícula (escala constante), -
é a aceleração da partícula em cada instante .
A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:
Explicação curta: para achar a força precisamos primeiro achar
(derivando
duas vezes) e depois multiplicar por
.
Passo 3
Calcule a velocidade
como primeira derivada de
. Derivamos componente a componente; as bases
e
são vetores unitários fixos (constantes), então sua derivada é zero. Assim
Agora as derivadas:
e
. Portanto
Passo 4
Calcule a aceleração
como derivada da velocidade:
A derivada de
(vetor constante) é zero e
. Logo
Observação didática: a aceleração saiu constante (independe de
), significando que a partícula tem aceleração uniforme na direção
.
Passo 5
Use a Segunda Lei de Newton
. Substituindo
obtemos
Interpretação: a força é constante no tempo, dirigida ao longo de
(e magnitude
). Em unidades do SI, se
estiver em quilogramas, a força estará em newtons.
Passo 6
Verificação rápida: como a componente em
de
é linear (
), sua segunda derivada é zero — portanto nenhuma força é necessária na direção
. A componente em
é quadrática (
), daí segunda derivada constante igual a
, exigindo força constante
na direção
. Faz sentido físico: movimento uniforme em
e movimento com aceleração constante em
.