Encontre equações para o plano tangente e a reta normal ao gráfico de f(x, y)=y^2+4 x y+1 nos pontos P=(0,0) e Q=(1,2). (Resposta: para P: r(s)=(0,0,1-s), plano z=1; para Q: r(s)=(1+8 s, 2+8 s, 9-s), plano 8 x+8 y-z=15 )

Passo 1

No enunciado, temos a função f(x,y)=y²+4xy+1 e queremos o plano tangente e a reta normal ao gráfico z=f(x,y) nos pontos P=(0,0) e Q=(1,2). Vamos usar derivadas parciais, gradiente, a fórmula do plano tangente e a reta normal definida pelo vetor (fₓ,f_y,−1).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Temos
fₓ(x,y)=∂/∂x(y²+4xy+1)=4y
f_y(x,y)=∂/∂y(y²+4xy+1)=2y+4x
O vetor gradiente é ∇f=(fₓ,f_y).

Passo 3

No ponto P=(0,0) avaliamos fₓ(0,0)=4·0=0, f_y(0,0)=2·0+4·0=0 e z₀=f(0,0)=0²+0+1=1. Portanto, a equação do plano tangente em P usando
z = z₀ + fₓ§(x−x₀) + f_y§(y−y₀)
fica:

Passo 4

z = 1
e a reta normal, com ponto inicial (0,0,1) e vetor diretor (fₓ,f_y,−1)=(0,0,−1), é

Passo 5

r(s) = (0,0,1) + s, (0,0,-1) = (0,0,1 - s)

Passo 6

No ponto Q=(1,2) avaliamos fₓ(1,2)=4·2=8, f_y(1,2)=2·2+4·1=8 e z₀=f(1,2)=2²+4·1·2+1=13. O plano tangente em Q é dado por

Passo 7

z = 13 + 8(x - 1) + 8(y - 2)
que se simplifica para
8x + 8y - z = 11
Já a reta normal parte de (1,2,13) com vetor diretor (8,8,−1):

Passo 8

r(s) = (1,2,13) + s, (8,8,-1) = (1+8s, 2+8s, 13 - s)

Resposta

Para P: reta normal r(s)=(0,0,1−s) e plano tangente z=1. Para Q: reta normal r(s)=(1+8s,2+8s,13−s) e plano tangente 8x+8y−z=11.

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