Encontre as equações para a reta que é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro
:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma curva definida pela função vetorial:
O objetivo é encontrar as equações da reta que é tangente a essa curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro
. Para resolver isso, vamos precisar calcular o ponto na curva quando
e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função vetorial em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando
. Substituímos
por
na função
:
Sabemos que ,
e
, então:
Portanto, o ponto na curva quando
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente no ponto
. Para isso, calculamos a derivada da função vetorial
em relação a
:
Derivando cada componente:
Passo 4
Agora, avaliamos a derivada em
para encontrar a direção da reta tangente:
Sabemos que
, e
, então:
Portanto, o vetor direção da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. Sejam
,
e
as coordenadas da reta e
o parâmetro da reta, temos:
Então, as equações paramétricas da reta tangente são:
Resposta
As equações da reta tangente à curva no parâmetro
são:
onde
é o parâmetro da reta.