Obtenha a curvatura, da curva com relação a variável comprimento de arco .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a curvatura, , da curva dada por em relação à variável comprimento de arco, . A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre curvas no espaço e como calcular a curvatura delas usando derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da curva em relação a , usar produtos vetoriais e entender como relacionar com o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de em relação a , que nos dá a velocidade da curva:
Passo 3
Agora, encontramos a derivada segunda, que representa a aceleração:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial de e :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:
Passo 6
Também precisamos da norma de :
Passo 7
A curvatura kappa é dada por:
Como a curvatura é constante e não depende de s, temos que .
Resposta
A curvatura da curva em relação ao comprimento de arco s é .