Obtenha a curvatura, kappa da curva r(t) = sent i + cos(t) j + t k com relação a variável comprimento de arco s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a curvatura, kappa, da curva dada por em relação à variável comprimento de arco, s. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre curvas no espaço e como calcular a curvatura delas usando derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da curva em relação a t, usar produtos vetoriais e entender como relacionar com o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de r(t) em relação a t, que nos dá a velocidade da curva:

Passo 3

Agora, encontramos a derivada segunda, que representa a aceleração:

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial de e :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:

Passo 6

Também precisamos da norma de :

Passo 7

A curvatura kappa é dada por:
Como a curvatura é constante e não depende de s, temos que .

Resposta

A curvatura da curva em relação ao comprimento de arco s é .

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