Encontre as equações das retas tangente e normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa indicada.
y=\operatorname{sen}^{2}(3 x) ; x=\frac{\pi}{12}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva y=\sin^2(3x) e queremos as equações das retas tangente e normal no ponto de abscissa x=\frac{\pi}{12}. Para isso precisamos calcular o valor da função e de sua derivada nesse ponto, depois usar as fórmulas ponto-inclinação.

Passo 2

Calcular y_0=f(x_0) com x_0=\frac{\pi}{12}:
y_0 = \sin^2\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{12}\bigr) = \sin^2\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\Bigr)^2 =\tfrac12.

Passo 3

Determinar f'(x). Como f(x)=\sin^2(3x), aplicamos regra da cadeia e da potência:
f'(x) =2\sin(3x)\cos(3x)\cdot3 =6\sin(3x)\cos(3x) =3\sin(6x).
Então
f'(x_0) =3\sin\bigl(6\cdot\tfrac{\pi}{12}\bigr) =3\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =3.

Passo 4

A reta tangente no ponto \bigl(x_0,y_0\bigr) tem inclinação m=f'(x_0)=3 e equação ponto-inclinação:
y - \tfrac12 =3\Bigl(x - \tfrac{\pi}{12}\Bigr).

Passo 5

A reta normal tem inclinação oposta recíproca -\tfrac13, logo sua equação é
y - \tfrac12 =-\tfrac{1}{3}\Bigl(x - \tfrac{\pi}{12}\Bigr).

Resposta

\text{Tangente: }y - \tfrac12 = 3\Bigl(x - \tfrac{\pi}{12}\Bigr), \quad \text{Normal: }y - \tfrac12 = -\tfrac{1}{3}\Bigl(x - \tfrac{\pi}{12}\Bigr).

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