Utilizando as propriedades operatórias de limites, calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x}
usando propriedades dos limites. O conteúdo envolvido é o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{n}\Bigr)^{n}=e^{a},
que aqui será adaptado para a variável real x.

Passo 2

Para usar essa propriedade, escrevemos a potência de forma a obter um fator 2x no expoente. Observamos que
\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x} = \Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x}\Bigr]^{\frac12}.
Assim, basta achar o limite de \bigl(1+\frac{1}{2x}\bigr)^{2x}.

Passo 3

Aplicando o limite conhecido com n=2x (quando x\to+\infty, n\to+\infty) e a=1, temos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x} = e^{1}.
Então a expressão original fica
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x} =\bigl(e^{1}\bigr)^{\frac12} = e^{\frac12}.

Resposta

e^{\tfrac12}

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