Encontre o espaço gerado pelo conjunto
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o espaço gerado pelo conjunto
. Isso está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente tratando de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todo o espaço que eles geram.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o espaço gerado por um conjunto de vetores. Basicamente, ele é formado por todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como uma soma de múltiplos dos vetores do conjunto.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores em
são linearmente independentes. Se eles forem independentes, o espaço gerado será uma combinação direta deles. Olhando para
e
, vemos que nenhum é múltiplo do outro, então eles são independentes. Isso significa que o espaço gerado por
será um plano dentro do espaço de quatro dimensões (
).
Passo 4
Agora, vamos escrever uma combinação linear geral dos vetores em
. Seja
e
números reais, então qualquer vetor no espaço gerado por
pode ser escrito como:
Fazendo a soma, temos:
Resposta
O espaço gerado pelo conjunto
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
e
são números reais. Ou seja,