Encontre o espaço gerado pelo conjunto A. A=(1,1),(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o espaço gerado pelo conjunto . Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao conceito de espaço gerado ou span de um conjunto de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa combinar vetores e verificar se eles são independentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço gerado por um conjunto de vetores. O espaço gerado por v = c1(1,1) + c2(1,0) é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no espaço gerado pode ser escrito como:
onde e são números reais (escalars).

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores em (1,1) = k(1,0) são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como um múltiplo escalar do outro. Olhando para e , vemos que não existe nenhum número que satisfaça:
Porque isso implicaria que para a primeira coordenada, mas então na segunda coordenada. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como os vetores são linearmente independentes e estamos trabalhando em (o plano), isso significa que eles geram todo o espaço . Em outras palavras, qualquer vetor no plano pode ser alcançado combinando esses dois vetores de alguma forma.

Resposta

O espaço gerado pelo conjunto é todo o .

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