Encontre um exemplo de dois operadores algébricos lineares A e B, tais que:
e^{A+B} \neq e^{A} e^{B}

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de dois operadores algébricos lineares A e B tais que
e^{A+B} \neq e^{A} e^{B}.
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • Preciso escolher dois operadores lineares (posso escolher matrizes 2\times2 para simplificar).
  • Devo mostrar que a exponencial do somatório não é igual ao produto das exponenciais — ou seja, calcular ambos os lados e comparar.

Passo 2

Lembrete útil (definição): a exponencial de uma matriz M é definida pela série de potências
e^{M}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}M^{n}.
Explicar por que isso ajuda: se uma matriz N satisfaz N^{2}=0 (ou seja, é nilpotente de índice 2), então a série trunca já que N^{n}=0 para n\ge2, e assim
e^{N}=I+N.
Isso torna contas muito simples para matrizes nilpotentes de ordem 2.

Passo 3

Vou escolher duas matrizes simples 2\times2 que são nilpotentes individualmente mas que não comutam entre si. Defino
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Essas são matrizes de troca off-diagonal (os chamados operadores de subida e descida).]

Passo 4

Verificar propriedades elementares que vamos usar:
  • Calcular A^{2} e B^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Logo A^{2}=B^{2}=0, portanto e^{A}=I+A e e^{B}=I+B (pela observação do Passo 2).
  • Calcular AB e BA:
AB=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
BA=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto o comutador é
[A,B]=AB-BA=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}\neq0,
ou seja, A e B não comutam. É importante porque a igualdade e^{A+B}=e^{A}e^{B} vale automaticamente quando A e B comutam; como aqui não comutam, a igualdade pode falhar.]

Passo 5

Calcular e^{A} e e^{B} usando A^{2}=B^{2}=0:
e^{A}=I+A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad e^{B}=I+B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando:
e^{A}e^{B}=(I+A)(I+B)=I+A+B+AB.
Usando os valores calculados,
e^{A}e^{B}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular e^{A+B}. Primeiro observe (A+B)^{2}:
(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}=AB+BA=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Como (A+B)^{2}=I, as potências de A+B alternam:
(A+B)^{2n}=I,\qquad (A+B)^{2n+1}=A+B\quad\text{para }n\ge0.
Assim a série exponencial separa em termos pares e ímpares:
e^{A+B}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(A+B)^{n} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}I+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}(A+B).
As somas são as hiperbólicas conhecidas:
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}=\operatorname{cosh}(1),\qquad \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}=\operatorname{sinh}(1),
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e^{A+B}=\operatorname{cosh}(1)\,I+\operatorname{sinh}(1)\,(A+B).
Substituindo A+B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} obtemos a forma matricial explícita
e^{A+B}=\begin{pmatrix}\operatorname{cosh}(1) & \operatorname{sinh}(1) \\[4pt] \operatorname{sinh}(1) & \operatorname{cosh}(1)\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparar e^{A}e^{B} com e^{A+B}:
e^{A}e^{B}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad e^{A+B}=\begin{pmatrix}\operatorname{cosh}(1) & \operatorname{sinh}(1) \\[4pt] \operatorname{sinh}(1) & \operatorname{cosh}(1)\end{pmatrix}.
Como \operatorname{cosh}(1)\approx1{,}543 e \operatorname{sinh}(1)\approx1{,}175, os elementos correspondentes diferem (por exemplo, 2\neq\operatorname{cosh}(1) e 1\neq\operatorname{sinh}(1)). Portanto
e^{A+B}\neq e^{A}e^{B}.
Isto conclui a demonstração por exemplo concreto.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad\text{pois}\qquad e^{A+B}=\begin{pmatrix}\operatorname{cosh}(1) & \operatorname{sinh}(1) \\[4pt] \operatorname{sinh}(1) & \operatorname{cosh}(1)\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=e^{A}e^{B}.

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