Encontre um exemplo de dois operadores algébricos lineares
e
, tais que:
Passo 1
O enunciado pede um exemplo concreto de dois operadores algébricos lineares
e
tais que
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
- Preciso escolher dois operadores lineares (posso escolher matrizes
para simplificar). - Devo mostrar que a exponencial do somatório não é igual ao produto das exponenciais — ou seja, calcular ambos os lados e comparar.
Passo 2
Lembrete útil (definição): a exponencial de uma matriz
é definida pela série de potências
Explicar por que isso ajuda: se uma matriz
satisfaz
(ou seja, é nilpotente de índice
), então a série trunca já que
para
, e assim
Isso torna contas muito simples para matrizes nilpotentes de ordem 2.
Passo 3
Vou escolher duas matrizes simples
que são nilpotentes individualmente mas que não comutam entre si. Defino
Essas são matrizes de troca off-diagonal (os chamados operadores de subida e descida).]
Passo 4
Verificar propriedades elementares que vamos usar:
- Calcular
e :
Logo
, portanto
e
(pela observação do Passo 2).
- Calcular
e :
Portanto o comutador é
ou seja,
e
não comutam. É importante porque a igualdade
vale automaticamente quando
e
comutam; como aqui não comutam, a igualdade pode falhar.]
Passo 5
Calcular
e
usando
:
Multiplicando:
Usando os valores calculados,
Passo 6
Calcular
. Primeiro observe
:
Como
, as potências de
alternam:
Assim a série exponencial separa em termos pares e ímpares:
As somas são as hiperbólicas conhecidas:
logo
Substituindo
obtemos a forma matricial explícita
Passo 7
Comparar
com
:
Como
e
, os elementos correspondentes diferem (por exemplo,
e
). Portanto
Isto conclui a demonstração por exemplo concreto.]